Lo scopo di questo insegnamento è quello di presentare allo studente le nozioni fondamentali dell'analisi matematica per funzioni reali di una variabile reale. I contenuti si possono pensare suddivisi in quattro parti: il sistema dei numeri reali, i concetti di limite e continuità, il calcolo differenziale ed, infine, il calcolo integrale.
Il sistema dei numeri reali. Proprietà algebriche e di ordinamento. Insiemi e funzioni. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Estensione dei numeri reali e relative proprietà algebriche e di ordinamento. Numeri reali e coordinate cartesiane. Massimo e minimo di un insieme. Estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme. Numeri naturali, interi e razionali. Proprietà di Archimede e densità dei numeri razionali nei reali. Formula del binomio di Newton. Qualche cenno ai numeri complessi. Limiti e continuità per funzioni reali di una variabile reale. Topologia della retta reale. Limiti su restrizioni. Classificazione dei punti di discontinuità. Cenno a massimo e minimo limite. Successioni e sottosuccessioni. Il teorema di Bolzano Weierstrass. Il criterio di convergenza di Cauchy per le successioni. Le funzioni elementari: funzione esponenziale e funzioni circolari. Enunciati dei teoremi di esistenza degli zeri, della funzione inversa e di Weierstrass. Introduzione di ulteriori funzioni elementari. Funzioni uniformemente continue. Enunciato delle principali proprietà. Serie a termini reali. Serie a termini reali positivi. Criteri del confronto, della radice e del rapporto. Serie assolutamente convergenti. Criterio di Leibniz. Il criterio di condensazione. Funzioni derivabili. Alcuni esempi. Classificazione dei punti di non derivabilità. Teoremi classici delle funzioni derivabili: Rolle, Lagrange, Cauchy. I Teoremi di l'Hopital. Derivate di ordine superiore. Formule di Taylor col resto di Peano e col resto di Lagrange. Funzioni convesse e criteri di convessità per le funzioni derivabili una e due volte. Somme superiori e somme inferiori. Integrale superiore e integrale inferiore. Funzioni integrabili. Criteri di integrabilità. Alcune classi notevoli di funzioni integrabili: funzioni continue e monotone. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Regole di calcolo per integrali definiti. Integrazione per sostituzione. Integrazione per parti. Integrali impropri.
Materiale per le lezioni: vengono distribuite le dispense in PDF sui vari argomenti del corso. Materiale didattico per le esercitazioni: vengono distribuite le dispense in PDF relative alle varie esercitazioni, curate dal dott. Simone Zuccher. Si segnala un eserciziario di riferimento: C. Sbordone, P. Marcellini, Esercitazioni di Matematica, Liguori Editore, Volume I, 2005 Parte prima [ISBN: 88-207-1684-4], Parte seconda [ISBN: 88-207-1704-2. Infine, si segnalano i test risolti reperibili al link esterno http://calvino.polito.it/canuto-tabacco/analisi_1/esercizi.html
Prove finali scritte con domande a risposte chiuse. Eventuale orale.
******** CSS e script comuni siti DOL - frase 9957 ********p>