Geometria (2006/2007)

Corso disattivato non visibile

Codice insegnamento
4S00247
Docente
Mauro Spera
crediti
6
Settore disciplinare
MAT/03 - GEOMETRIA
Lingua di erogazione
Italiano
Sede
VERONA
Periodo
3° Q dal 2-apr-2007 al 8-giu-2007.

Orario lezioni

Obiettivi formativi

*Obiettivi formativi del corso di GEOMETRIA -
Il corso si prefigge lo scopo di introdurre ed elaborare i concetti fondamentali della geometria differenziale e proiettiva delle curve
e delle superficie, in modo rigoroso ma nello stesso tempo concreto
e basato su esempi, allo scopo di sviluppare negli allievi l'intuizione geometrica, la capacita' di astrazione e l'abilità di calcolo analitico, anche in vista delle applicazioni nei corsi successivi.

Programma

*Programma di massima del corso di GEOMETRIA

Crediti: 6
Corsi di studio in cui e' offerto: Laurea in Matematica Applicata.
Settore disciplinare: MAT/03 Geometria
Periodo: 3 Q

Prof. Mauro Spera - Dipartimento di Informatica, Facoltà di Scienze MM.FF.NN. - Università di Verona)

* 1. Richiami di analisi matematica. Elementi di topologia (in spazi metrici).

* 2. Geometria differenziale delle curve e delle superficie
2.1 Curve - Geometria differenziale delle curve (generalità) nel piano e nello spazio.
Lunghezza d'arco, curvatura, raggio di curvatura e cerchio osculatore. Evoluta ed evolvente. Torsione, formule di Frénet-Serret. Teorema fondamentale (curvatura e torsione caratterizzano una curva a meno di uno spostamento rigido, cenno).
Esempi: rette, coniche (teoria elementare) e altre curve classiche, eliche,
curve di Bézier.

2.2. Superficie - Generalità. Prima e seconda forma fondamentale, teorema di Meusnier, curvature principali, linee di curvatura. Teorema di Eulero.
Curvatura gaussiana. Derivata covariante e sua interpretazione geometrica (Levi-Civita) e trasporto parallelo.
Il Theorema Egregium. Teorema fondamentale della teoria delle superficie: equazioni di compatibilità (Gauss-Codazzi-Mainardi, cenno).
Formula di Levi-Civita.
Geodetiche e loro proprietà intrinseche ed estrinseche. Interpretazione meccanica (cenno alle equazioni di Eulero-Lagrange). Geodetiche sulle superficie di rivoluzione. Teorema di Clairaut. Digressione sugli integrali ellittici e applicazioni alla cartografia.
Cerchi geodetici, lemma di Gauss,
caratterizzazioni intrinseche della curvatura (formula di Bertrand e Puiseux). Formula di Gauss per i triangoli geodetici.
Teorema di Gauss-Bonnet. Applicazione esponenziale. Coordinate normali e polari.
Esempi: Piani, Quadriche, (in particolare, sfera ed ellissoide di rotazione) superficie rigate, sviluppabili, superficie minime, pseudosfera, tori, bottiglia di Klein, nastro di Moebius, superficie di Bézier...
Rappresentazioni conformi. Esempi di proiezioni cartografiche.

*3. Cenno al concetto di varietà differenziabile e Riemanniana astratta.
Cenni alla classificazione topologica delle superficie.

*4. Geometria proiettiva delle curve e delle superficie.
4.1 Richiami di geometria proiettiva. Ulteriori elementi di teoria
delle coniche.
4.2 Quadriche nell'approccio proiettivo.
Polarità. Proprietà metriche.


NOTE: 1. Verranno redatte le dispense del corso.
2. Il programma è approssimativo e suscettibile di variazioni: alcuni argomenti potranno essere oggetto di (parti di) corsi successivi.

Modalità d'esame

*Modalità d'esame del corso di GEOMETRIA -

Prova scritta, seguita da una prova orale.

Materiale didattico

Documenti