Sistemi dinamici (2008/2009)

Corso disattivato non visibile

Codice insegnamento
4S00244
Docente
Gaetano Zampieri
crediti
6
Settore disciplinare
MAT/07 - FISICA MATEMATICA
Lingua di erogazione
Italiano
Sede
VERONA
Periodo
3° Q dal 20-apr-2009 al 19-giu-2009.

Orario lezioni

Obiettivi formativi

Il corso tratta vari aspetti dell’analisi qualitativa delle equazioni
differenziali ordinarie e introduce alla teoria dei sistemi dinamici
continui e discreti. In particolare vengono esposti i concetti base di
equilibrio, orbita periodica, orbita omoclinica, ciclo limite,
omega-limite, invarianza, coniugazione ed equivalenza topologica, stabilita' e stabilita'
asintotica alla Liapunov.
Vengono studiati alcuni esempi
notevoli fra cui il pesce, il pendolo semplice conservativo e dissipativo, le rotazioni sul circolo e il moto quasi periodico sul toro.
L’allieva/o dovra’ conoscere con una certa profondita’ gli argomenti in
programma sia dal punto di vista teorico che sapendo trattare esempi.

Programma

1. ESISTENZA E UNICITA'. Campi di vettori, problema di Cauchy, enunciato del teorema di Peano, equazione scalare di ordine n, campi vettoriali in dimensione 1, esempi,
esempio senza unicita', equazioni che non sono ordinarie,
enunciato del teorema di Cauchy-Lipschitz.


2. DINAMICA LINEARE. Esponenziale di matrici, convergenza, soluzione dei problemi lineari,
esponenziale e: matrici che commutano, similitudini, trasposizione, inversa. Classificazione in dimensione 1 e 2. In dimensione n: matrici semisemplici e nilpotenti e loro esponenziali, enunciato della decomposizione fondamentale, esempi.


3. FONDAMENTI DI TEORIE QUALITATIVE. Campi vettoriali limitati e completi, esistenza globale
per soluzioni in compatti, campi vettoriali con le stesse orbite e completezza, enunciato del teorema del flusso locale, flusso globale, sistemi dinamici continui e discreti, punti fissi, orbite regolari e periodiche. Esempi di dinamica discreta lineare. Il pesce, orbite omocliniche e centri.


4. INVARIANZA. INSIEMI LIMITE. Insiemi invarianti, alfa e omega limiti, teorema sull'omega limite, esempi vari.


5. CONIUGAZIONI. Cambi di variabili e campi vettoriali e flussi, teorema della scatola di flusso, esempio di cambio di variabile non-lineare, coniugazione differenziale e topologica, equivalenza topologica e sue proprieta'. Esempi.

6. STABILITA' ALLA LIAPUNOV. Principio di invarianza. Sistemi meccanici conservativi e dissipativi. Teorema di stabilita' di Liapunov.
Stabilita' asintotica dalla linearizzazione.
Instabilita' dalla linearizzazione. Il pendolo semplice.



7. SOTTOGRUPPI DI (R,+). PERIODI. Classificazione dei sottogruppi di (R,+). Un sottogruppo denso di interesse dinamico. Periodi di una funzione continua.


8. ROTAZIONI. Rotazioni sul circolo. Il toro unidimensionale e proiezione sul circolo. Teoremi di classificazione delle orbite. Un'applicazione alla teoria dei numeri.


9. MOTO QUASI-PERIODICO SUL TORO. Il toro bidimensionale come sottospazio delo spazio 3-dimensionale e come prodotto. Sistema dinamico continuo sul toro definito dal campo vettoriale costante sul piano: periodicita' delle orbite se il rapporto delle componenti del campo e' razionale e densita' delle orbite se e' irrazionale. Oscillatori armonici disaccoppiati.

Modalità d'esame

L'esame finale consiste in una prova orale.

Materiale didattico

Documenti