Scopo del progetto è considerare un approccio variazionale per diversi tipi di problemi evolutivi di tipo parabolico o iperbolico, che sorgono nell'ambito della geometria, della fisica e dei sistemi complessi, mediante l'uso di metodi di ottimizzazione convessa e trasporto ottimo, sviluppando nuovi schemi numerici efficienti per l'approssimazione delle soluzioni. Tipicamente l'evoluzione geometrica produce singolarità in tempo finito: vogliamo provare l'esistenza globale per alcuni flussi iperbolici minimizzando funzionali di energia e,
simultaneamente, sviluppare schemi numerici efficienti che preservino la struttura della dinamica, adattando tecniche di level set e di discretizzazione nel tempo, in combinazione con metodi primal-dual, metodi di splitting ed integratori esponenziali. La robustezza degli schemi e la loro validazione mediante soluzioni particolari ci permetterà di eseguire simulazioni sull'evoluzione anche successivamente alla formazione di singolarità in situazioni rilevanti ancora non esplorate, come ad esempio cambiamenti nella topologia dell'evoluzione e nel caso di reti di curve e superfici.
Un secondo obiettivo è il controllo di sistemi multiagente con dinamica microscopica data da inclusioni differenziali con dinamica nonlocale.
Tale punto di vista può anche essere utilizzato per modellizzare l'incertezza in sistemi di controllo classici di tipo deterministico.
Un approccio naturale, ispirato dalla teoria del trasporto ottimo, consiste nella minimizzazione di una funzione valore definita sullo spazio metrico delle misure di probabilità con distanza di Wasserstein.
Vogliamo affrontare le questioni rilevanti dell'esistenza e approssimazione numerica delle traiettorie ottime, fornire condizioni necessarie per l'ottimalità, sviluppare strumenti differenziali adeguati per ottenere condizioni di regolarità della funzione valore, caratterizzandola come soluzione di viscosità di un'opportuna equazione di Hamilton-Jacobi nello spazio delle misure.
