Aspetti geometrici in teoria del potenziale lineare e non lineare

L'obiettivo del progetto è quello di mettere in luce alcuni rilevanti aspetti geometrici che emergono in teoria del potenziale. Più concretamente, ci interessa analizzare le caratteristiche geometriche di un dominio studiandone il relativo potenziale capacitario o p-capacitario, sia in ambito Euclideo che Riemanniano. 
La situazione archetipica è quella descritta in [2], dove si deducono delle nuove formule di monotonia associate al flusso dei livelli del potenziale elettrostatico nello spazio Euclideo. Tali formule vengono poi direttamente applicate per dedurre una nuova versione quantitativa della Disuguaglianza di Willmore.
Questo punto di vista e la tecnica con esso sviluppata sono già state fruttuosamente esportate a una varietà di contesti diversi: al caso delle metriche statiche in relatività generale [3,4,5], al caso di varietà con curvatura di Ricci nonnegativa [1], al caso del potenziale p-capacitario nello spazio Euclideo [6].
Ecco in estrema sintesi l'elenco dei problemi di cui intendiamo occuparci nell'ambito del nostro progetto: Disuguaglianza di Minkowski per domini mean convex; Disuguaglianza di Penrose Riemanniana in dimensione bassa; Formule di monotonia in varietà di Cartan-Hadamard; Problema della torsione con bordo a più componenti connesse; Un approccio alternativo alla Congettura di Willmore.

Referenze:
[1] V. Agostiniani, M. Fogagnolo, and L. Mazzieri. Sharp geometric inequalities for closed hypersurfaces in manifolds with nonnegative ricci curvature. arXiv:1812.05022.

[2] V. Agostiniani and L.Mazzieri. Monotonicity formulas in potential theory. arXiv:1606.02489v3.

[3] V. Agostiniani and L. Mazzieri. On the geometry of the level sets of bounded static potentials. Commun. Math. Phys., 355: 261-301, 2017.

[4] S. Borghini and L. Mazzieri. On the mass of static metrics with positive cosmological constant: II. arXiv:1711.07024.

[5] S. Borghini and L. Mazzieri. On the mass of static metrics with positive cosmological constant: I. Classical Quantum Gravity, 35(12): 125001, 43, 2018.

[6] M. Fogagnolo, L. Mazzieri, and A. Pinamonti. Geometric aspects of p-capacitary potentials. To appear on Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire. https://doi.org/10.1016/j.anihpc.2018.11.005.