Equivalenze e dualità fra categorie di moduli e di Grothendieck; algebre di dimensione finita e infinita

Data inizio
1 gennaio 2001
Durata (mesi) 
24
Dipartimenti
Informatica
Responsabili (o referenti locali)
Gregorio Enrico
Parole chiave
CATEGORIE DI MODULI ; EQUIVALENZE ; DUALITA' ; CATEGORIE DI GROTHENDIECK

Un attivo settore di ricerca è quello della rappresentazione delle algebre; in esso gioca un ruolo fondamentale i moduli "tilting" [1], che permettono lo studio di rappresentazioni di vario genere. La nozione di modulo tilting è stata estesa a moduli su anelli arbitrari, ottenendo una teoria molto elegante [2]. Questa teoria fornisce equivalenze fra categorie di moduli che generalizzano la classica equivalenza di Morita e quella di Fuller e danno esempi di controequivalenze di Colby-Fuller [3].
Più di recente è stata introdotta la nozione di oggetto tilting in una categoria di Grothendieck [4], ottenendo risultati simili a quelli del caso classico, in particolare una controequivalenza fra la categoria di Grothendieck ed una categoria di moduli; inoltre è stato provato che il concetto di *-modulo è riconducibile a quello di oggetto tilting, ottenendo così l'unificazione delle due teorie.
In due recenti lavori [5, 6] e' stato affrontato il problema di generalizzare ancora le equivalenze tilting al caso in cui entrambe le categorie coinvolte siano categorie di Grothendieck. I risultati ottenuti permettono di affrontare da un nuovo punto di vista la teoria della rappresentazione di algebre di dimensione infinita.
La dualizzazione del concetto di modulo tilting è quella di modulo "cotilting"; vari risultati sono stati ottenuti su questi moduli e sulle dualità da essi indotti (Colby, Fuller, Colpi, Angeleri-Hügel), ma sembra ancora non risolto il problema di dare la "corretta" definizione di modulo cotilting: si vedano i lavori [7, 8, 9, 10]. Di particolare importanza è la differenza fra dualità cotilting ereditarie e non ereditarie e la ricerca di esempi che mostrino i vari aspetti del problema.

Riferimenti bibliografici

[1] D. Happel - C. M. Ringel, Tilted algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 274 (1982), 399--443.
[2] R. Colpi - J. Trlifaj, Tilting modules and tilting torsion theories, J. Algebra 178 (1995), 614--634.
[3] R. R. Colby - K. R. Fuller, Tilting and torsion theory counter equivalences, Comm. Algebra 23 (1995), 4833--4849.
[4] R. Colpi, Tilting in Grothendieck categories, Forum Math. 11 (1999), 735--759
[5] E. Gregorio, Tilting equivalences for Grothendieck categories, J. Algebra (to appear)
[6] E. Gregorio, Topological tilting modules (submitted for publication)
[7] F. Mantese, Hereditary cotilting bimodules (preprint)
[8] R. Colpi, Cotilting bimodules and their dualities, in Proceedings of the Murcia 1998 Euroconference, M. Dekker, 2000
[9] R. Colpi - K. R. Fuller, Cotilting modules and bimodules, Pacific J. Math.
[10] A. Tonolo, Generalizing Morita dualities (preprint)

Enti finanziatori:

Ministero dell'Istruzione dell'Università e della Ricerca
Finanziamento: assegnato e gestito dal Dipartimento

Partecipanti al progetto

Enrico Gregorio
Professore associato

Collaboratori esterni

Gabriella D'Este
Università di Milano Matematica Professore ordinario

Attività

Strutture