Il progetto si propone di studiare alcuni modelli di mercati finanziari. Le attività si articoleranno in due filoni principali:
1. Set-valued analysis applicata allo studio di mercati finanziari con costi di transazione. In questi modelli la presenza di costi di transazione introduce una irreversibilità intrinseca nelle operazioni di conversione di un paniere di beni in un altro, in quanto la transazione inversa richiede un apporto aggiuntivo di liquidità o di beni. Le transazioni ammissibili formano quindi una relazione di ordine nell'insieme degli stati (mentre in assenza di costi di transazione tale relazione è di equivalenza).
Nella teoria classica si assume inoltre che:
- le tipologie di beni che costituiscono un paniere siano in numero finito (ovvero lo spazio degli stati ha dimensione finita),
- le preferenze degli investitori diano luogo ad relazione di ordine totale, ovvero che esista una mappa $\varphi$ dallo spazio degli stati a $\mathbb R$ tale per cui l'investitore preferisce il paniere $x$ al paniere $y$ se e solo se $\varphi(x)\ge \varphi(y)$.
Si studia poi il problema di ottimizzare la strategia dell'investitore sulla base delle sue preferenze e del suo capitale iniziale.
Le assunzioni della teoria classica risultano piuttosto artificiali, in quanto in genere la relazione d'ordine delle preferenze dell'investitore risulta essere non totale (ovvero vi possono essere panieri non confrontabili tra loro), e lo spazio degli stati ha dimensione infinita (in quanto può rappresentare densità di probabilità su uno spazio di dimensione finita).
Recentemente sono stati proposti modelli (cfr. ad es. Hamel-Heyde-Rudloff (2011)) in cui la descrizione delle preferenze dell'investitore non è fornita da una singola funzione scalare, ma da una mappa multivoca, in modo da modellizzare i casi più realistici in cui le preferenze non diano luogo ad una relazione di ordine totale.
In questo contesto sono state generalizzate molte nozioni della teoria classica al caso set-valued, tra cui le risk measures e, nel caso dinamico, le systemic risk measures.
Nell'ambito del progetto si vuole:
- estendere la teoria dal caso finito-dimensionale al caso infinito-dimensionale;
- studiare problemi di ottimizzazione nello spazio delle misure di probabilità;
- studiare il caso non convesso: i modelli proposti infatti limitano le scelte dei panieri ammissibili ad opportuni sottoinsiemi convessi, così come le mappe multivoche che descrivono le preferenze degli investitori vengono assunte a valori convessi. In molti casi, ciò risulta essenziale ai fini di ottenere condizioni necessarie (e sufficienti) per le soluzioni. Si vogliono utilizzare strumenti di set-valued analysis e di analisi variazionale al fine di rilassare tali ipotesi.
2. Modelli di tipo Mean Field Games per lo studio di mercati in presenza di shock esterni imprevisti. Recentemente, Carmona-Fouque-Li-Sun (2013) hanno proposto un modello per l'evoluzione nel tempo
delle riserve di $N$ banche, che possono prestare e prendere a prestito denaro l'una dall'altra e ciascuna nei confronti di una banca centrale. Da un punto di vista matematico, le riserve delle banche evolvono tramite SDE guidate da moti Browniani accoppiate tramite un campo medio. Di particolare interesse risulta lo studio del systemic risk che sorge da tali interazioni. In uno dei modelli più realistici considerati, le banche possono controllare i loro tassi di scambio per minimizzare un certo costo atteso in un intervallo di tempo finito. Per questo modello, il problema di minimizzazione con $N$ agenti può essere risolto ed analizzato esplicitamente. Da un punto di vista economico, è naturale considerare un'estensione di questo problema in cui l'evoluzione nel tempo può essere influenzata da shock esterni inaspettati, che possono essere modellizzati mediante processi con salti.
Nell'ambito del progetto si intende:
- estendere i risultati ottenuti per le diffusioni interagenti al caso di processi con salti;
- studiare il limite per $N\to+\infty$: il problema per $N$ fissato risulta molto difficile da trattare,
pertanto si intende studiare l'approssimazione per $N$ grande tramite tecniche di Mean Field Games.
