Questo progetto riguarda due argomenti importanti dell'approssimazione numerica, l'interpolazione polinomiale (caso multivariato), e i metodi di estrapolazione (con applicazioni all'algebra lineare numerica). Il gruppo di ricerca ha già basi solide e buone prospettive, in particolare nell'ottica della produzione di software numerico, e beneficerà di una rete consolidata di collaborazioni nazionali e internazionali (L. Bos (Calgary), C. Brezinski (Lille), Y. Xu (Eugene)) e potrà interagire fortemente grazie ai legami esistenti tra le due tematiche.
1) Interpolazione polinomiale multivariata
Si tratta di un campo di ricerca sostanzialmente aperto [e]. Un punto di svolta è stato fornito dai cosiddetti "punti di Padova" nel quadrato, che sono il primo esempio noto di punti unisolventi 2d la cui costante di Lebesgue abbia ordine di crescita minimale O(log^2(n)) [a,f]. Un'altra direzione è data dal calcolo di "punti approssimati di Fekete" a partire da matrici di Vandermonde tramite fattorizzazioni QR [b,h] (evitando così problemi di ottimizzazione nonlineare su larga scala).
Un approccio alternativo è l'iperinterpolazione, cioè sviluppi di Fourier in serie di polinomi ortogonali discretizzati con formule di cubatura algebriche di grado elevato [g].
Le direzioni principali in questo progetto sono:
- cercare di estendere la costruzione geometrica dei punti di Padova ad altri domini multivariati;
- sviluppare il metodo dei "punti approssimati di Fekete" nel caso reale (interpolazione, cubatura e collocazione multivariata su geometrie arbitrarie) e nel caso complesso (calcolo di equilibri piani discreti, di filtri polinomiali per l'elaborazione di segnali e sistemi mal condizionati, di funzioni di matrice);
- estendere ed implementare in modo efficiente l'iperinterpolazione in dimensione maggiore di 2, anche con produzione di software.
2) Metodi di estrapolazione: strumenti e applicazioni
In numerosi ambiti scientifici si presentano successioni e serie che convergono in modo così lento, da costituire un serio svantaggio per il loro utilizzo.
I metodi di estrapolazione sono alla base di nuovi metodi per la soluzione di tali problemi e di altri collegati (per una panoramica, si veda [c]). Di particolare interesse sono i nuovi metodi di estrapolazione per successioni vettoriali. Per essi bisogna ottenere algoritmi ricorsivi che vanno programmati con estrema cura. Si devono anche cercare risultati teorici sulla convergenza e l'accelerazione, non così facili da ottenere, nonchè generalizzazioni di strumenti di algebra lineare (complementi di Schur, identità determinantali, ...).
Si studieranno con particolare attenzione due applicazioni principali:
- accelerazione di metodi iterativi per il calcolo di autovettori di matrici stocastiche riducibili (in particolare il PageRank di Google): il processo è molto lento e una della possibilità per accelerarlo è l'utilizzo di metodi di estrapolazione [1,2], anche su computer paralleli;
- individuazione, studio e test delle soluzioni regolarizzate di sistemi lineari mal condizionati nel caso multiparametrico [d], che hanno applicazioni in numerosi ambiti (image restoration, medical imaging, ...).
Il coordinatore scientifico del Progetto è la Prof.ssa Michela Redivo Zaglia dell'Università di Padova.
