Ottimizzazione (2008/2009)

Obiettivi formativi

Il corso ha lo scopo di affrontare i problemi di ottimizzazione non lineare, esaminando gli strumenti teorici di analisi e le principali metodologie di soluzione.

1. Nozioni di base
Problemi di ottimizzazione. Funzioni e insiemi convessi. Alcune estensioni della convessità. Supporto lineare e separazione di insiemi. Coni e convessità poliedrale. Teoremi di alternativa. Sottogradiente e sottodifferenziale.

2. Metodi di ottimizzazione non vincolata e su un insieme convesso
Cenni di ottimizzazione monodimensionale. Il metodo di Newton. Metodi del gradiente. Il metodo delle direzioni coniugate e del gradiente coniugato. Metodi delle direzioni ammissibili. Metodi di linearizzazione: il metodo di Frank e Wolfe. Il metodo del gradiente proiettato.

3. Teoria dei moltiplicatori
Condizioni necessarie. Vincoli di uguaglianza; i moltiplicatori di Lagrange. Vincoli di disuguaglianza; i moltiplicatori di Kuhn-Tucker. Condizioni di regolarità e di qualifica dei vincoli. Moltiplicatori di John. La funzione di perturbazione. Il significato dei moltiplicatori; interpretazione economica. Condizioni sufficienti. Sella di una funzione. Condizioni di sella e punti di minimo.

4. Dualità lagrangiana
Il problema duale. Variabili duali e moltiplicatori di Lagrange. Teorema di dualità debole e di dualità forte. Problemi convessi e non convessi. Alcune applicazioni.

Prova scritta ed orale.