Complementi di analisi (2007/2008)

Obiettivi formativi

Il corso prevede 40 ore di lezione frontale comprensive di esercitazioni e seminari.
Sintesi del programma: serie e trasformata di Fourier, trasformata di Laplace. Equazioni alle derivate parziali: equazioni di trasporto, leggi di conservazione, equazioni della Fisica Matematica (equazione delle onde, equazione del calore, equazione di Laplace).
Elementi di analisi funzionale e applicazioni alla risoluzione di equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali.
Elementi di teoria delle funzioni di una variabile complessa.

Richiami su eerie e trasformata di Fourier, trasformata di Laplace e applicazioni alla risoluzione di equazioni differenziali ordinarie.
Elementi di equazioni alle derivate parziali: equazioni del primo ordine (equazioni di trasporto, leggi di conservazione, equazioni di Hamilton-Jacobi), risoluzione via metodo delle caratteristiche.
Equazioni lineari del secondo ordine: equazioni iperboliche, ellittiche, paraboliche. Le equazioni della Fisica Matematica. Equazione delle onde: equazione della corda vibrante, formula di d'Alembert di rappresentazione delle soluzioni, principio di Huygens, Metodo di Fourier di separazione delle variabili, oscillazioni di una membrana, principio di Duhamel. Equazione di Laplace e di Poisson. Equazione di Laplace nel cerchio: separazione di variabili e rappresentazione delle soluzioni, funzione di Green. Proprietà fondamentali delle funzioni armoniche. Equazione del calore: separazione delle variabili e rappresentazione delle soluzioni, nucleo del calore. Principio del massimo per l'equazione di Laplace e l'equazione del calore e applicazioni.

Elementi di Analisi Funzionale. Spazi metrici completi. Spazi di Banach e di Hilbert. Proprietà fondamentali degli spazi di Hilbert: teorema della proiezione ortogonale, teorema di rappresentazione di Riesz. Spazi di Hilbert separabili. Sistemi ortonormali completi (basi hilbertiane). Diseguaglianza di Bessel, identità di Parseval. Serie di Fourier e trasformata di Fourier in L^2. Lemma di Lax-Milgram, applicazione alla risoluzione di problemi di ottimizzazione e di equazioni differenziali alle derivate parziali. Rappresentazione delle soluzioni. Approssimazione delle soluzioni: il metodo di Ritz-Galerkin. Elementi finiti.

Elementi di Analisi Complessa. Funzioni derivabili in senso complesso (funzioni olomorfe). Condizioni di Cauchy-Riemann e loro interpretazione geometrica, fisica: mappe conformi, funzioni armoniche. Formula integrale di Cauchy. Sviluppabilità in serie di potenze (analiticità) delle funzioni olomorfe e applicazioni. Sviluppo in serie di Laurent e classificazione delle singolarità delle funzioni olomorfe. Il calcolo dei residui.

L'esame finale consiste nello svolgimento di un seminario su di un particolare argomento (a scelta dello studente) affrontato durante il corso.