Complementi di analisi (2005/2006)

Obiettivi formativi

Diario del corso disponibile all'indirizzo profs.sci.univr.it/~orlandi/diariocomplementi.pdf
Nel corso verranno trattati alcuni degli argomenti proposti nel programma, scelti e calibrati in funzione delle esigenze formative dell'utenza.
Il corso prevede 40 ore di lezione frontale comprensive di esercitazioni e seminari.
Sintesi del programma: serie e trasformata di Fourier, trasformata di Laplace.
Elementi di analisi funzionale (spazi di Hilbert) e applicazioni alla risoluzione di equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali. Funzioni di una variabile complessa. Equazioni della fisica matematica. Geometria differenziale di curve e superfici. Topologia algebrica.

Complementi di Analisi 1. Serie di potenze. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier, trasformata di Laplace e applicazioni alla risoluzione di equazioni differenziali ordinarie.
Elementi di Analisi Funzionale. Spazi metrici completi. Spazi di Banach e di Hilbert. Proprietà fondamentali degli spazi di Hilbert: teorema della proiezione ortogonale, teorema di rappresentazione di Riesz. Spazi di Hilbert separabili. Sistemi ortonormali completi (basi hilbertiane). Diseguaglianza di Bessel, identità di Parseval. Serie di Fourier e trasformata di Fourier in L^2. Applicazioni alla risoluzione di problemi di ottimizzazione, e di equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali. Rappresentazione delle soluzioni. Approssimazione delle soluzioni: metodo di Ritz-Galerkin. Applicazioni a problemi di apprendimento e approssimazione di dati sparsi: spazi di Hilbert a nucleo riproducente e teorema di rappresentazione.
Elementi di Analisi Complessa. Funzioni derivabili in senso complesso (funzioni olomorfe). Condizioni di Cauchy-Riemann e loro interpretazione geometrica, fisica: mappe conformi, funzioni armoniche. Formula integrale di Cauchy. Sviluppabilità in serie di potenze (analiticità) delle funzioni olomorfe e applicazioni. Sviluppo in serie di Laurent e classificazione delle singolarità delle funzioni olomorfe. Il calcolo dei residui.
Elementi di equazioni alle derivate parziali. Equazioni lineari del secondo ordine: equazioni iperboliche, ellittiche, paraboliche. Le equazioni della fisica matematica. Equazione delle onde: equazione della corda vibrante, formula di d'Alembert di rappresentazione delle soluzioni, principio di Huygens, Metodo di Fourier di separazione delle variabili, oscillazioni di una membrana, principio di Duhamel. Equazione di Laplace e di Poisson. Equazione di Laplace nel cerchio: separazione di variabili e rappresentazione delle soluzioni, funzione di Green. Equazione del calore: separazione delle variabili e rappresentazione delle soluzioni, nucleo del calore.
Elementi di geometria differenziale. Curve spaziali: vettore tangente, normale, binormale. Curvatura, torsione. Formule di Frenet. Superfici spaziali: piano tangente, vettore normale. Prima forma fondamentale, metriche riemanniane. Seconda forma fondamentale, curvature. Theorema Egregium. Integrali superficiali e teorema di Stokes. Teorema di Gauss-Bonnet. Classificazione delle superfici spaziali chiuse. Campi di vettori e trasporto parallelo sulle superfici, derivata covariante. Curve geodetiche. Varietà differenziali e gruppi di Lie. Calcolo differenziale e integrale sulle varietà e in gruppi di matrici. Mappa esponenziale, geodetiche. Spazi fibrati. Gruppi di omotopia. Gruppi di omologia.

L'esame finale consiste nello svolgimento di un seminario su di un particolare argomento (a scelta dello studente) affrontato durante il corso.