Programma dettagliato di Sistemi Stocastici (teoria) aa 2011-2012 Catene di Markov in tempo discreto a stati finiti- - definizioni, matrice di transizione, esempio della rovina del giocatore. - probabilità di transizione in m passi, equazione di Chapman-Kolmogorov, densità congiunte finite - enunciato th. di Kolmogorov, spazio canonico. - classificazione degli stati,irriducibilità, probabilità invariati, th. di Markov-Kakutani,esempio della rovina del giocatore, catene regolari (criterio), probabilità limite e th. di Markov, catene reversibili, algoritmo di Metropolis e Simulated annealing. - simulazione di v.a. discrete, algoritmo ricorsivo per generare una CdM omogenea a stati finiti. Catene di Markov in tempo discreto a stati numerabili - misure invarianti, teorema di esistenza, positiva ricorrenza, prova del th. di Markov Kakutani per il caso di stati finiti. - definizioni equivalenti di transienza e ricorrenza, periodo, solidarietà, decomposizione canonica. - esempio delle misure invarianti per la passeggiata aleatoria illimitata - catene ergodiche e teorema limite. - teorema delle medie temporali. Catene di Markov in tempo continuo - definizioni e costruzione, esempio del processo di Poisson e delle catene di nascita e morte, teorema del tempo di permanenza esponenziale. - semigruppo, generatore ed equazioni di Kolmogorov, teorema del generatore, calcolo di misure e probabilità invariati. - catene non esplosive, teoremi limite, teorema delle media temporali. Processi con rinnovi - definizioni, esempi del processo di Poisson e delle catene uniformizzabili. - Teorema dei rinnovi, processo di rinnovo con guadagno. - processi rigenerativi, esempio delle code M/G/1 e G/G/1, teorema di Smith, formula di Little. Elementi della teoria delle martingale in tempo discreto - filtrazione naturale associate ad un CdM om in tempo discreto, tempi di arresto. - attesa condizionata come v.a., attesa condizionata ad un sigma algebra generata da un v.a. reale o vettoriale e proprietà. - definizione di martingala, proprietà, Optional Stopping Theorem, esempio della rovina del giocatore. Seminari didattici: - Generazione stocastica di immagini frattali e compressione algoritmica di dati immagine - Campi aleatori markovini con applicazione alla meccanica statistica ed a modelli di reti neuronali. - Modello di Cox, Ross e Rubinstein per un mercato finanziario discreto. - Introduzione al Moto Browniano ed alle Equazioni Differenziali Stocastiche.
PROGRAMMA D'ESAME (teoria) : tutte le definizioni, tutti gli enunciati e gli esempi citati nel programma dettagliato (escludendo i seminari), più 6 dimostrazioni a scelta.
