Programma dettagliato Probabilita' e Statistica (teoria) per Info.

Programma dettagliato di Probobilita' e Statistica (Teoria).
Cdl in Informatica. aa 2006-07

( fac: facoltativo, *: dimostrazione richiesta)

∑ Definizione di Probabilita' classica di un evento.

∑ Elementi di calcolo combinatorio : Combinazioni e Disposizioni semplici. Disposizioni con ripetizione e Combinazioni con ripetizione (fac).

∑ Probabilita' moderna : Assiomi di Kolmogorov, Spazi di Probabilita'. Eventi ed insiemi, misura di probabilita' su una sigma-algebra (definizione e proprieta'). Caso particolare di un numero finito di eventi elementari.

∑ Probabilita' condizionata. Partizione dell'evento certo e Formula della Probabilita' Totale*. Formula di Bayes*.

∑ Indipendenza di eventi. Schema di Bernoulli finito.

∑ Variabili aleatorie discrete : v.a. di Bernoulli, v.a. Binomiale, v.a Ipergeometrica, v.a. Multinomiale.

∑ v.a. di Poisson come approssimazione di una binomiale *.

∑ Schema di Bernoulli infinito : v.a. Geometrica( con proprieta'*).

∑ Caso di spazio degli eventi elementari costituito dalla retta reale. ( fac.: Sigma-algebra di Borel)

∑ V.a. reale assolutamente continua : definizione e proprieta' della densita'. V.a . uniformi, esponenziali e normali.

∑ Trasformazione affine di una v.a. Calcolo della densita'. Caso di una normale standard.

∑ Attesa di una v.a. discreta o assolutamente continua. Attesa di una funzione di una v.a. ( dimostrazione* per il caso di v.a. discrete) Momenti di una v.a..Varianza.Disuguaglianza di Chebichev*.

∑ V.a. vettoriali discrete e assolutamente continue : densita' congiunte. Attesa di una funzione di piu' v.a. Attesa della somma di due v.a.*. Proprieta' dell'attesa.

∑ Densita' marginali. Indipendenza di due v.a. Condizione necessaria e sufficiente (prova per il caso discreto*).

∑ Covarianza (con proprieta'). V.a. correlate e scorrelate. L'indipendenza implica la scorrelazione*. Varianza della somma di due v.a. Proprieta' della varianza.

∑ Coefficiente di correlazione. Proprieta'.

∑ Matrice delle covarianze. V.a. normali bidimensionali. Due variabili congiuntamnte normali e scorrelate sono indipendenti*.

∑ Densita' e attese condizionate. Curve di regressione.

∑ Somme finite di v.a. indipendenti (due casi notevoli): v.a. normali e v.a. di Poisson.

∑ Somma di infinite v.a. indipendenti : funzioni di ripartizione, convergenza in legge. Teorema Limite Centrale. Approssimazione normale.

∑ Somma di infinite v.a. indipendenti : convergenza quasi certa e in probabilita'. Legge dei Grandi Numeri . Prova della versione debole.* Relazione con le frequenze empiriche.

∑ Elementi di statistica descrittiva : rappresentazione dei dati, indici statistici, box plots.

∑ Statistica Inferenziale : modello statistico, stimatori, stimatori corretti e consistenti per media e varianza. Intervalli di confidenza per la media di campioni normali*.Intervalli di confidenza approssimati per la media nel caso di campioni numerosi di legge qualunque.