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Il corso ha come obiettivo la conoscenza dei principi fisici di conservazione che si applicano al moto dei fluidi e la loro rappresentazione in termini di modelli matematici, includendovi la turbolenza. Si presentano applicazioni di rilievo nell'ambito dei moti a potenziale, dei fluidi newtoniani e non-newtoniani nei moti a pressione, dei fluidi comprimibili, dei moti a superificie libera. Alcuni seminari saranno dedicati ad argomenti specifici o di ricerca.
Concetto di mezzo continuo e di sforzo. Materia solida e fluida. La distinzione qualitativa fra solidi e fluidi in termini reologici. La pressione. Il principio di Pascal. La legge idrostatica. Distribuzioni di pressione per liquidi e gas. Approccio Lagrangiano ed Euleriano. La derivata materiale di uno scalare generico. Velocità ed accelerazione.
Linea di corrente e traiettoria. La portata volumetrica e di massa. Il tubo di flusso. Il teorema del trasporto. Principio di conservazione della massa in forma globale e indefinita. Il caso dei fluidi incomprimibili. Principio di conservazione della quantità di moto in forma globale e indefinita.
Legge costitutiva per i fluidi di Newton. Il tensore della velocità di deformazione, significato geometrico dei suoi termini, ed il rotore della velocità. Sviluppo della equazione indefinita delle forze nell’ipotesi di fluido newtoniano. Le equazioni di Navier-Stokes e di Eulero. Esercizio sui concetti di linea di corrente e traiettoria.
Le equazioni di bilancio dell’energia. Le equazioni di Eulero nel sistema intrinseco. Il teorema di Bernouilli.
Il teorema di Bernouilli per i moti irrotazionali. Considerazioni sulla corrispondenza fra fluido perfetto e moto irrotazionale, e sulle conseguenze di queste ipotesi sui bilanci energetici. La tensione superficiale. Leggi di Laplace e di Jurin.
I moti a potenziale. Funzioni potenziale, esistenza e definizione. Linearità delle relazioni. Reticolato di flusso. Metodi di costruzione di soluzioni complesse tramite sovrapposizione di moti semplici. Il moto uniforme, il dipolo idraulico, il moto attorno al semicorpo. Singolarità e punti di ristagno. Il moto attorno al cilindro.
La trasformazione conforme. La costruzione del moto attorno ad un profilo alare. Il teorema di Joukowski. Esercitazione assegnata.
Moto laminare uniforme tra due piani (Couette) ed entro condotti cilindrici. Stabilità del moto laminare. Introduzione alla turbolenza. Concetto di valore medio e valore fluttuante delle variabili idrodinamiche. I moti statisticamente stazionari. Presentazione di serie temporali di dati di velocità in un campo di moto turbolento. La funzione di autocorrelazione. La scala integrale di Taylor. Analisi della funzione di autocorrelazione nel dominio della frequenza e determinazione alternativa della scala integrale.
Le equazioni di Reynolds. Gli sforzi apparenti ed il relativo problema di chiusura. La turbolenza di parete. Distribuzione di sforzi viscosi e turbolenti. Esercitazione assegnata.
Moti laminari uniformi per fluidi viscosi in un condotto a sezione rettangolare. Traccia di una metodologia numerica alle differenze finite per la determinazione del campo di velocità.
Metodi agli elementi finiti per la risoluzione delle equazioni di Navier Stokes. Descrizione e utilizzo di un codice.
Il modello costitutivo generale dei fluidi di Bingham. Applicazione al caso unidimensionale per condotti a sezione circolare e per il moto fra due piani paralleli (Couette). Equazione di conservazione di sostanze inerti. Concetto di diffusione (molecolare e turbolenta) e legge di Fick. L’equazione di convezione-diffusione. La soluzione nel caso unidimensionale e coefficiente di diffusione costante.
Applicazione del modello di Bingham nei moti uniformi a pressione in condotti di sezione rettangolare (esercitazione). Modelli di rappresentazione degli sforzi turbolenti. L’equazione di conservazione dell’energia turbolenta e dell’energia del moto medio. Significato dei vari termini (in particolare la produzione e la dissipazione). Cenni ai modelli di chiusura più evoluti.
I sistemi di equazioni differenziali iperboliche. Le principali caratteristiche e confronto con i sistemi ellittici e parabololici già considerati. Le equazioni di propagazione delle onde elastiche unidimensionali. La forma canonica per i sistemi lineari. Dominio di dipendenza e di influenza. I sistemi di equazioni non lineari in forma conservativa. Il problema di Riemann. Propagazione di fronti discontinui. Condizioni di Rankine-Hugoniot. I coni di rarefazione e gli invarianti generalizzati di Riemann. Le equazioni delle acque basse (shallow water). Autovalori ed invarianti. Una soluzione analitica notevole: il caso del dam-break inviscido. Onde di contatto: definizione generale ed applicazione al modello di acque basse bidimensionale. Introduzione al modello unidimensionale per la gas-dinamica.
Autovalori, autovettori, invarianti, onde di shock, di discontinuità e di contatto per il modello ed onde di contatto per il modello unidimensionale di gas-dinamica. Uso delle equazioni di stato e riduzione del modello nel caso isentropico, isotermo o nell’ipotesi di fluido incomprimibile (liquido). Metodi numerici ai volumi finiti per la ricerca di soluzioni approssimate dei sistemi di equazioni iperboliche in forma conservativa. Proprietà dei metodi conservativi.
Equazione di Burger ed esempio di non equivalenza di forme conservative consistenti. Stabilità e condizione di Courant per i metodi espliciti. I metodi numerici conservativi di Godunov. La valutazione approssimata dei flussi di tipo HLL. Cenni alla soluzione esatta. Costruzione inversa di un problema di Riemann. Descrizione esercitazione consistente nella costruzione inversa di un problema di Riemann e confronto con soluzione numerica tramite metodo HLL.
Il corso prevede anche due o tre seminari su temi specifici. Lo scorso anno sono stati offerti i seguenti seminari:
- I metodi “Smooth Particle Hydrodynamics” applicati a casi di moto vario 3D di fluidi incomprimibili a superficie, con cenni anche alle tecniche di parallelizzazione del metodo e all’aumento di efficienza.
- Introduzione ai modelli numerici per la previsione meteorologica.
L'esame è orale. Il lavoro svolto nel Corso di Laboratorio, assieme agli ulteriori esercizi assegnati, sono presentati dai candidati tramite relazioni e contribuisce alla formazione del voto finale.
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