CATLOC - Localizzazione categorica: metodi e fondamenti

Le categorie triangolate sono presenti in tutte le aree della matematica che coinvolgono l’algebra omologica. In teoria delle rappresentazioni il fuoco è principalmente sulla categoria derivata dei moduli su un anello; in geometria algebrica il ruolo principale è dato dalla categoria dei fasci (quasi)coerenti; in categoria omotopica dalla categoria omotopica degli spettri.
Ogni area ha sviluppato approcci differenti per trattare i propri problemi. Ma esistono domande di carattere trasversale, che sono al centro di questo progetto.
Qual’è la natura di tali problemi? Essi sono principalmente legati alla classificazione a meno di equivalenza e alla scomposizione di categorie triangolate. Per le categorie derivate di categorie abeliane spesso le equivalenze sono parametrizzate da cosiddetti oggetti tilting. La teoria tilting, o più in generale, silting, fornisce un controllo su esistenza e forma delle equivalenze derivate e un modo per studiarne gli invarianti associati. In alternativa, per comprendere una struttura algebrica più ampia, si potrebbe voler decomporla in pezzi più piccoli. E' importante che questi pezzi più piccoli abbiano informazioni sufficienti per poter essere collegati in modo da descrivere significativamente la struttura più grande.
Le localizzazioni categoriche sono fondamentali per ottenere queste decomposizioni e per eseguire questa procedura. Tra le varie tecniche di localizzazione nel contesto delle categorie triangolate, hanno un ruolo centrale gli incollamenti, noti in geometria algebrica come formalismo dei sei funtori di Grothendieck. Gli incollamenti di categorie derivate di moduli sono spesso indotti da localizzazioni di anelli quali le localizzazioni universali.
Studieremo l'interazione fra le varie tecniche di localizzazione e esploreremo applicazioni a contesti rilevanti. Inoltre
discuteremo questioni computazionali e fondazionali sulle tecniche di localizzazione da affrontare attraverso la teoria
omotopica dei tipi sviluppata da Voevodsky ed altri.