Numerical Analysis (2004/2005)

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Teaching is organised as follows:
Unit Credits repeat Academic sector Period Academic staff
Teoria 6   MAT/08-NUMERICAL ANALYSIS 1° Q - 2° anno e successivi, 2° Q Angelo Pica
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Learning outcomes

Nel corso vengono esaminati i problemi - ed i relativi algoritmi di risoluzione - più frequenti in campo numerico. Al di là dell'indispensabile bagaglio teorico, particolare enfasi è data all'aspetto algoritmico e più puramente numerico - sia dal punto di vista dell'implementazione e della complessità di calcolo che da quello della stabilità - con l'obiettivo di fornire allo studente, oltre alla necessaria conoscenza dei problemi, quella dose di sensibilità per il "numero" e di spirito critico che sempre dovrebbe essere presente sia in chi progetta che in chi utilizza applicazioni in questo campo.

Syllabus

Modulo: Laboratorio
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# Analisi degli errori. Errore assoluto ed errore relativo. Rappresentazione dei numeri. Numeri di macchina ed errori connessi. Le operazioni elementari. Algoritmi per il calcolo di una espressione. Errori di propagazione: analisi del primo ordine ed analisi differenziale, condizionamento e stabilità.
# Equazioni non lineari. Separazione degli zeri. I metodi di iterazione funzionale. Convergenza e criteri di arresto. Metodi particolari: bisezione, secanti, tangenti e corde. Le equazioni algebriche: schema di Horner, limitazione delle radici, proprietà del metodo delle tangenti.
# Sistemi di equazioni. Generalità. Metodi diretti: sostituzione in avanti ed all'indietro, fattorizzazione LU, fattorizzazione QR, eliminazione di Gauss senza e con pivoting. Metodi iterativi: i metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel ed il metodo post-iterativo. Sistemi sparsi, a banda, sovra- e sotto-determinati ed omogenei. Cenni sui sistemi nonlineari.
# Autovalori ed autovettori. Richiami sulle proprietà fondamentali. Trasformazioni per similitudine: metodo di Householder e metodo di Gauss. Localizzazione degli autovalori: teorema di Hirsch e di Gershgorin. Metodi di calcolo degli autovalori: uso del polinomio caratteristico per matrici tridiagonali e di Hessenberg, metodo di Jacobi, metodo delle potenze e delle potenze inverse, metodo QR senza traslazione, con traslazione singola e con passo doppio di Francis. Cenni sulle matrici "companion" e radici complesse di un polinomio.
# Interpolazione di dati ed approssimazione di funzioni. Interpolazione polinomiale: interpolazione di Lagrange, algoritmo di Neville, polinomio di Newton. Stima dell'errore di approssimazione. Interpolazione polinomiale a tratti. Funzioni spline. Cenni sull'interpolazione trigonometrica. Il metodo dei minimi quadrati.
# Derivazione ed integrazione numerica. Derivazione numerica ed errori connessi; risoluzione numerica di semplici equazioni differenziali ordinarie del I e II ordine. Integrazione numerica: costruzione di una formula di quadratura di tipo interpolatorio, formule di quadratura di Newton-Cotes ed errori connessi, formule di Newton-Cotes composite.


Modulo: Teoria
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* Analisi degli errori. Errore assoluto ed errore relativo. Rappresentazione dei numeri. Numeri di macchina ed errori connessi. Le operazioni elementari. Algoritmi per il calcolo di una espressione. Errori di propagazione: analisi del primo ordine ed analisi differenziale, condizionamento e stabilità.
* Equazioni non lineari. Separazione degli zeri. I metodi di iterazione funzionale. Convergenza e criteri di arresto. Metodi particolari: bisezione, secanti, tangenti e corde. Le equazioni algebriche: schema di Horner, limitazione delle radici, proprietà del metodo delle tangenti.
* Sistemi di equazioni. Generalità. Metodi diretti: sostituzione in avanti ed all'indietro, fattorizzazione LU, fattorizzazione QR, eliminazione di Gauss senza e con pivoting. Metodi iterativi: i metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel ed il metodo post-iterativo. Sistemi sparsi, a banda, sovra- e sotto-determinati ed omogenei. Cenni sui sistemi nonlineari.
* Autovalori ed autovettori. Richiami sulle proprietà fondamentali. Trasformazioni per similitudine: metodo di Householder e metodo di Gauss. Localizzazione degli autovalori: teorema di Hirsch e di Gershgorin. Metodi di calcolo degli autovalori: uso del polinomio caratteristico per matrici tridiagonali e di Hessenberg, metodo di Jacobi, metodo delle potenze e delle potenze inverse, metodo QR senza traslazione, con traslazione singola e con passo doppio di Francis. Cenni sulle matrici "companion" e radici complesse di un polinomio.
* Interpolazione di dati ed approssimazione di funzioni. Interpolazione polinomiale: interpolazione di Lagrange, algoritmo di Neville, polinomio di Newton. Stima dell'errore di approssimazione. Interpolazione polinomiale a tratti. Funzioni spline. Cenni sull'interpolazione trigonometrica. Il metodo dei minimi quadrati.
* Derivazione ed integrazione numerica. Derivazione numerica ed errori connessi; risoluzione numerica di semplici equazioni differenziali ordinarie del I e II ordine. Integrazione numerica: costruzione di una formula di quadratura di tipo interpolatorio, formule di quadratura di Newton-Cotes ed errori connessi, formule di Newton-Cotes composite.

Assessment methods and criteria

Modulo: Laboratorio
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La verifica del profitto avviene mediante una prova in laboratorio, nella quale deve essere analizzato e risolto un certo numero di problemi che richiedono sia una impostazione teorica, basata sulle conoscenze acquisite nel corso, che la relativa risoluzione numerica con il codice MATLAB e le librerie fornite dal docente - ed eventualmente con funzioni MATLAB scritte dallo studente durante la prova stessa. La votazione riportata nella prova è quella definitiva, fatto salvo il diritto di ciascuno studente di richiedere l'effettuazione di un esame orale, le cui modalità vanno definite caso per caso.


Modulo: Teoria
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La verifica del profitto avviene mediante una prova in laboratorio, nella quale deve essere analizzato e risolto un certo numero di problemi che richiedono sia una impostazione teorica, basata sulle conoscenze acquisite nel corso, che la relativa risoluzione numerica con il codice MATLAB e le librerie fornite dal docente - ed eventualmente con funzioni MATLAB scritte dallo studente durante la prova stessa. La votazione riportata nella prova è quella definitiva, fatto salvo il diritto di ciascuno studente di richiedere l'effettuazione di un esame orale, le cui modalità vanno definite caso per caso.