Programma del corso di Sistemi Stocastici ( aa 2007-08)
( legenda: * indica " con dimostrazione")
1) Catene di Markov in tempo discreto
-Definizione di processo in tempo discreto. Proprietà di Markov.Catene omogenee.
-Probabilità di transizione in n passi. Equazione di Chapman-Kolmogorov*. Calcolo della densità a tempo fissato.
Calcolo delle densità congiunte finite.
-Teorema di Kolmogorov sull'esistenza di un processo di date densità congiunte finite. Spazio canonico.
-Classificazione degli stati. Classi chiuse. Catene irriducibili.
- Per il caso di spazio degli stati finito: probabilità invarianti, th. di Markov-Kakutani, catene regolari, ( criterio *),
probabilità limite e th. di Markov. Catene reversibili. Probabilità di assorbimento.Tempi medi di assorbimento.
- Costruzione* e simulazione* di una CdM in tempo discreto ( Monte Carlo MC).
-Variabili aleatorie estese. Tempi di ritorno in uno stato e ridefinizione di stati transienti e ricorrenti. Esistenza di uno stato ricorrente per spazio degli stati finito *. Principio di dissezione. Misura invariante ed esistenza *. Decomposizione canonica dello spazio degli stati *. Criterio unicità misura invariante. Periodo.Teorema limite. Teorema delle medie temporali*
Principali esempi ed applicazioni : Rovina del giocatore, catene di nascita e morte in tempo discreto, Algoritmo di Metropolis, Simulated annealing, Problema del commesso viaggiatore.Modello di inventario, Modello di serbatoio, Code,
Passeggiate aleatorie illimitate.
2) Catene di Markov in tempo continuo
-Definizione . Semigruppo. Tempi di permanenza esponenziali ( traccia della dimostrazione*).Costruzione e simulazione.
-Generatore. Misure invarianti.
-Processi non esplosivi. Processi ergodici. Teorema limite. Teorema delle medie temporali.
Principali esempi ed applicazioni : Catene di nascita e morte in tempo continuo. Code MM1. Code MMs.
3) Processi con rinnovi
-definizione. Processo di Poisson.Catene uniformizzabili.. Teoremi limite : teorema dei rinnovi *. Processi di rinnovo con guadagno °.
-Processi rigenerativi. Teorema di Smith.
Applicazione : code GG1. formula di Little.
4) Martingale discrete
-Filtrazioni. Tempi di arresto. Proprietà di Markov forte*.
-Attesa condizonata ad un elemento della filtrazione.
-Martingale discrete. Optional stopping theorem *. Martingale associate ad una CDM.*
Esempio : calcolo della probabilità di rovina nella " rovina del giocatore".
Applicazione : Esempio di mercato finanziario discreto.
SEMINARI
----Introduzione euristica al Moto Browniano ed alle Equazioni Dfferenziali Stocastiche.
----Compressione algoritmica di dati immagine e Chaos Game
.....Modello stocastico di ecosistema cellulare
.....Modello di Whright-Fischer in genetica
.....Processo di ramificazione semplice di Galton-Watson.
Programma d'esame ( corso di laurea in Matematica Applicata, aa 2007-08)
Tutte le definizioni ed enunciati dati a lezione. 6 dimostrazioni a scelta, tra quelle fatte a lezione. 6 esempi o applicazioni a scelta, tra quelli dati a lezione o nei seminari o proposti per casa.
