Equivalenze e dualità fra categorie di moduli e di Grothendieck; algebre di dimensione finita e infinita

Data inizio
1 gennaio 2001
Durata (mesi) 
24
Dipartimenti
Informatica
Responsabili (o referenti locali)
Gregorio Enrico
Parole chiave
CATEGORIE DI MODULI ; EQUIVALENZE ; DUALITA' ; CATEGORIE DI GROTHENDIECK

Un attivo settore di ricerca è quello della rappresentazione delle algebre; in esso gioca un ruolo fondamentale i moduli "tilting" [1], che permettono lo studio di rappresentazioni di vario genere. La nozione di modulo tilting è stata estesa a moduli su anelli arbitrari, ottenendo una teoria molto elegante [2]. Questa teoria fornisce equivalenze fra categorie di moduli che generalizzano la classica equivalenza di Morita e quella di Fuller e danno esempi di controequivalenze di Colby-Fuller [3].
Più di recente è stata introdotta la nozione di oggetto tilting in una categoria di Grothendieck [4], ottenendo risultati simili a quelli del caso classico, in particolare una controequivalenza fra la categoria di Grothendieck ed una categoria di moduli; inoltre è stato provato che il concetto di *-modulo è riconducibile a quello di oggetto tilting, ottenendo così l'unificazione delle due teorie.
In due recenti lavori [5, 6] e' stato affrontato il problema di generalizzare ancora le equivalenze tilting al caso in cui entrambe le categorie coinvolte siano categorie di Grothendieck. I risultati ottenuti permettono di affrontare da un nuovo punto di vista la teoria della rappresentazione di algebre di dimensione infinita.
La dualizzazione del concetto di modulo tilting è quella di modulo "cotilting"; vari risultati sono stati ottenuti su questi moduli e sulle dualità da essi indotti (Colby, Fuller, Colpi, Angeleri-Hügel), ma sembra ancora non risolto il problema di dare la "corretta" definizione di modulo cotilting: si vedano i lavori [7, 8, 9, 10]. Di particolare importanza è la differenza fra dualità cotilting ereditarie e non ereditarie e la ricerca di esempi che mostrino i vari aspetti del problema.

Riferimenti bibliografici

[1] D. Happel - C. M. Ringel, Tilted algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 274 (1982), 399--443.
[2] R. Colpi - J. Trlifaj, Tilting modules and tilting torsion theories, J. Algebra 178 (1995), 614--634.
[3] R. R. Colby - K. R. Fuller, Tilting and torsion theory counter equivalences, Comm. Algebra 23 (1995), 4833--4849.
[4] R. Colpi, Tilting in Grothendieck categories, Forum Math. 11 (1999), 735--759
[5] E. Gregorio, Tilting equivalences for Grothendieck categories, J. Algebra (to appear)
[6] E. Gregorio, Topological tilting modules (submitted for publication)
[7] F. Mantese, Hereditary cotilting bimodules (preprint)
[8] R. Colpi, Cotilting bimodules and their dualities, in Proceedings of the Murcia 1998 Euroconference, M. Dekker, 2000
[9] R. Colpi - K. R. Fuller, Cotilting modules and bimodules, Pacific J. Math.
[10] A. Tonolo, Generalizing Morita dualities (preprint)

Enti finanziatori:

Ministero dell'Istruzione dell'Università e della Ricerca
Finanziamento: assegnato e gestito dal dipartimento

Partecipanti al progetto

Enrico Gregorio
Professore associato

Collaboratori esterni

Gabriella D'Este
Università di Milano Matematica Professore ordinario
Pubblicazioni
Titolo Autori Anno
Topological Tilting Modules, II E. Gregorio 2002
Weakly tilting bimodules E. Gregorio, A. Tonolo 2001

Attività

Strutture