Fenomeni di propagazione su grafi ed in mezzi eterogenei

Starting date
May 9, 2012
Duration (months)
12
Departments
Computer Science
Managers or local contacts
Marigonda Antonio
Keyword
Viscosity solutions, Hamilton-Jacobi equations, front propagations

Scopo della nostra ricerca saranno i problemi di propagazione in domini non omogenei quali i grafi (o reti) o i domini che presentano eterogeneita' periodiche o stazionarie ergodiche.

Vorremmo studiare equazioni completamente nonlineari di tipo Hamilton-Jacobi su reti. Per tali problemi, in letteratura sono gia' state proposte alcune nozioni di soluzioni di viscosita' (sia per il caso stazionario che per quello evolutivo); vorremmo confrontarle soffermandoci in particolare su: comportamento per tempi lunghi, omogeneizzazione, metodo della viscosita' evanescente e teoria dei "Mean Field Games" (MFG).

Nell'ambito della omogeneizzazione si vuole analizzare anche il comportamento asintotico della soluzione in presenza di grafi che si infittiscono sempre di piu' fino ad "invadere" tutto lo spazio, sia viceversa in presenza di un dominio aperto che si restringe ad un grafo.

Intendiamo poi modellizzare l'accesso a network tipo internet (od altri modelli di traffico di dati ove lo stato di ogni nodo dipende dal traffico gestito dal singolo nodo e da quello presente sulla rete) attraverso un modello tipo MFG definito su un grafo. Su ciascun arco di quest'ultimo e' data una coppia di equazioni alle derivate parziali (Hamilton-Jacobi-Bellman e Fokker-Planck) che descrivono il flusso ottimale dei dati lungo esso, mentre in ogni nodo sono definite opportune condizioni di transizione che descrivono il flusso di informazioni attraverso il nodo. Ci si propone di estendere i risultati di esistenza ed unicita' della teoria dei MFG al caso dei grafi e di studiare opportuni schemi di approssimazioni per risolvere il sistema.


Intendiamo anche investigare l'evoluzione ed il comportamento in tempi lunghi di fronti in mezzi non omogenei in cui la disomogeneita' sia periodica, quasi-periodica o stazionaria ergodica o soddisfi solo opportune ipotesi di annullamento all'infinito. A tale scopo ci soffermeremo sullo studio di soluzioni speciali quali le cosiddette "onde viaggianti" o "traveling waves" e sul cosiddetto fenomeno di "pinning" (quando le disomogeneita' del mezzo impediscono del tutto il movimento del fronte).

In questo ambito rientra lo studio di equazioni di reazione-diffusione con nonlinearita' di tipo monostabile. Tali equazioni ammettono due soluzioni ordinate, la prima instabile e la seconda stabile. Un interesse particolare sara' rivolto al passaggio dallo stato non eccitato (instabile) a quello eccitato (stabile), cioe' alle soluzioni di tipo "onde di transizione" quando la nonlinearita' presenti una dipendenza spaziale ergodica stazionaria o una dipendenza generale nel tempo e periodica nello spazio.

Un altro modello descrive la dinamica di una popolazione che presenti due tipi di diffusione, a corto e a lungo raggio. L'idea chiave e' di utilizzare due funzioni incognite, ottenendo cosi' un sistema di equazioni di reazione-diffusione, una locale e una non-locale.

Project participants

Antonio Marigonda
Assistant Professor

Activities

Research facilities