Equazioni differenziali non lineari ed applicazioni (FIRB 2010)

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Starting date
January 1, 2011

Duration (months)
72

Departments
Computer Science

Managers or local contacts
Squassina Marco

Description

BASE DI PARTENZA

Il nostro gruppo è interessato allo studio di equazioni di campo nonlineari, quali le equazioni di Schrödinger (NSE) e di Klein-Gordon (NKGE), e di teorie di gauge abeliane e non abeliane con un approccio variazionale. Una particolare classe di soluzioni sono i solitoni, ossia soluzioni che presentano caratteristiche di localizzazione dell'energia e qualche forma di stabilità. I solitoni con momento angolare non nullo sono chiamati vortici. La ricerca di solitoni e vortici comporta la scelta di un particolare ansatz per la soluzione riducendo l'equazione a un'equazione o a un sistema di equazioni ellittiche nonlineari, ad esempio nel caso dell'equazione di Schrödinger o di Klein-Gordon-Maxwell rispettivamente. Come primo passo è necessario dimostrare l'esistenza di soluzioni del sistema chiamate standing waves, in un secondo momento dimostrarne la stabilità per l'equazione di campo originaria. Il problema dell'esistenza di standing waves è molto presente in letteratura. In [BL83] è stato studiato il caso di un termine nonlineare generico per (NSE) nel caso autonomo. In seguito, in presenza di un potenziale esterno, risultati di esistenza sono stati ottenuti in [R92] con un’ipotesi detta di tipo Ambrosetti-Rabinowitz sul termine nonlineare e in [AP09],[JT05] con termine nonlineare più generale. Una proprietà interessante per le soluzioni è la loro concentrazione intorno a punti critici “non banali” del potenziale esterno. Questo fenomeno è stato dimostrato per (NSE) singolarmente perturbata, nel caso di un termine nonlineare di tipo potenza ad esempio in [ABC97] utilizzando argomenti di riduzione finito-dimensionale di Liapunov-Schmidt e in maniera fondamentale la non-degenerazione del problema limite. Per soluzioni di energia minima l’ipotesi di non-degenerazione del problema limite non è necessaria ([CL97]). In generale, la non-degenerazione è stata rimossa con due diversi metodi di penalizzazione, tra gli altri, in [DF02] e in [BJ07]. In [DF02] si considera un generico punto critico “non banale” del potenziale esterno ma si richiede un termine nonlineare di tipo Ambrosetti-Rabinowitz; in [BJ07], si prende un generico termine nonlineare di tipo Berestycki-Lions, ma si considerano solo minimi del potenziale esterno. La stabilità delle standing waves, quindi l'esistenza di solitoni, è un problema meno studiato in letteratura. Un primo risultato è stato ottenuto da Cazenave e Lions nel 1982 per (NSE) come corollario del metodo di concentrazione e compattezza. Un approccio più astratto è stato sviluppato da Grillakis, Shatah e Strauss nel 1987 e in lavori precedenti per equazioni Hamiltoniane, in cui il problema viene ricondotto alla ricerca di punti di minimo vincolati per l'energia del sistema. Il nostro gruppo si è interessato al problema ottenendo risultati che mettono in rilievo il ruolo del termine nonlineare, determinando quali valori della carica possono assumere i solitoni. Abbiamo risultati di esistenza di solitoni per (NSE) e (NKGE), per l'equazione di Schrödinger-Poisson e, infine, per l’equazione di Schrödinger quasi-lineare ([BBGM07], [BV10], [BBBS09], [BBBM10], [B10], [BS10],[CJS10]). La ricerca di vortici è un problema affrontato più di recente ([BV03], [BBR07] e [BF10]) che richiede un ansatz diverso per l'equazione di campo inducendo la presenza di un termine singolare nel sistema ellittico. Nell'ambito delle teorie di campo abbiamo studiato l'esistenza di vortici per (NSE) e per l'equazione di Klein-Gordon-Maxwell, si veda [BB10] e [BBS08]. Un problema rilevante nello studio dei solitoni è studiarne la dinamica in presenza di un potenziale esterno, per esempio si veda [BJ00] e [FGJS04] per (NSE). Lo scopo è dimostrare che il solitone ha un comportamento di "tipo particella", ossia che è possibile introdurre una nozione di baricentro che si muove seguendo le equazioni della dinamica newtoniana. In tale ambito il nostro gruppo di ricerca ha ottenuto dei risultati recenti nel caso di limite semiclassico e potenziale confinante per (NSE) [BGM10]. Si vedano anche [SQ09], [MPSa10] e [MPSb10] che riguardano la dinamica solitonica nei potenziali per (NSE) in presenza di un campo magnetico esterno fisso e per i sistemi accoppiati.

DESCRIZIONE DELLA RICERCA E OBIETTIVI

Uno dei nostri obiettivi è continuare lo studio delle proprietà di concentrazione e di molteplicità di standing waves per equazioni ellittiche nonlineari con potenziale esterno. Un primo passo è l'estensione dei risultati di [DF02] e in [BJ07] al caso di un generico termine nonlineare di tipo Berestycki-Lions e dimostrare che esistono soluzioni che si concentrano intorno a un generico punto critico “non banale” del potenziale esterno. Un altro problema interessante è l'esistenza di vortici. Mentre l'esistenza di standing waves con momento angolare non nullo è stata dimostrata ad esempio in [BB10] per (NSE) e (NKGE), la stabilità orbitale di queste soluzioni rimane un problema aperto. Dal nostro approccio deriva in maniera naturale l'interesse per lo studio di esistenza di solitoni e vortici con cariche assegnate. Abbiamo caratterizzato l'insieme di cariche per cui esistono solitoni per (NSE) e (NKGE) su R^n in dipendenza del termine nonlineare nei lavori [BBGM07], [BBBS09], [BBBM10] e [B10]. In presenza di termini non locali, come nel caso dell'equazione di Schrödinger-Poisson, ci sono risultati parziali nel caso di cariche piccole e resta aperto il problema nel caso di cariche grandi. I metodi usati per l'esistenza di solitoni e vortici trovano applicazione in vari problemi di natura fisica che intendiamo affrontare. In particolare pensiamo di generalizzare i nostri risultati di esistenza per (NSE) e (NKGE) al caso di equazioni su varietà. Per la natura del problema risulta più semplice da studiare il caso di varietà Riemanniane compatte o con un gruppo libero di simmetrie, mentre il caso generale sembra richiedere l'introduzione di nuovi metodi. Sempre in quest'ambito il nostro intento è di estendere il nostro approccio alle teorie di gauge non-abeliane. Il caso più semplice è studiare le equazioni di Yang-Mills-Higgs con gruppo di gauge SU(2) ed estendere poi i risultati al caso di gruppi di gauge che risultano nei modelli di interazioni elettrodeboli e forti. Vogliamo, inoltre, sviluppare lo studio dei problemi di dinamica sia per (NSE) che per (NKGE). Nel caso dell'equazione di Schrödinger pensiamo di introdurre una nuova nozione di baricentro che permette di localizzare meglio il solitone. Questo nuovo approccio aiuta ad estendere i nostri risultati al caso di potenziali generici, quindi in particolare non confinanti, e studiare nuovi casi come ad esempio la dinamica di multi-solitoni. Lo studio di questo problema per l'equazione di Klein-Gordon presenta delle difficoltà che lo rendono a un tempo più interessante e meno studiato in letteratura. In particolare per la natura relativistica del problema, il baricentro non è più uno strumento adatto e va sostituito con l'ergocentro. Si vogliono studiare soluzioni di equazioni di campo diverse da solitoni e vortici, ad esempio i compattoni, ossia soluzioni a supporto compatto che conservano il loro aspetto anche dopo aver interagito con un altro compattone. L’interesse in questo tipo di onde deriva dal fatto che, al contrario dei solitoni, l’interazione tra due compattoni avviene solo per un tempo finito ([IE10],[RK10]). Il problema dell’esistenza di compattoni è collegato alla ricerca di soluzioni “dead core” di equazioni ellittiche nonlineari, ossia soluzioni che si annullano in un compatto contenuto nel dominio ([PS04]). Per rendere possibile l’esistenza di questo tipo di soluzioni, è necessario che l’equazione considerata soddisfi una specie di duale del strong maximum principle. Siamo inoltre interessati alle equazioni nonlineari di tipo Choquard generalizzate che emergono in varie questioni della fisica matematica, ad esempio nello studio di sistemi a più particelle [LS77]. In [L77] Lieb stabilì l’esistenza e l’unicità della soluzione minimizzante per l’equazione nonlineare di Choquard in dimensione N=3 e in [MZ10] sono state classificate le soluzioni positive dell'equazione generalizzata, mostrando che queste soluzioni devono essere radialmente simmetriche e monotone decrescenti rispetto a un punto fissato. In [FL04] è stata studiata l’equazione nonlineare di Choquard generalizzata, in presenza di un campo elettrico esterno, nel caso coercivo all’infinito e nel caso di potenziali elettrici che decadono a zero all’infinito, provando l’esistenza di stati fondamentali. Per campi elettrici radiali e decrescenti, è stato provato che le soluzioni fondamentali sono radiali.
Si è interessati a studiare l’esistenza di stati fondamentali simmetrici (non radiali) e le loro proprietà qualitative per equazioni di tipo Choquard generalizzata, in presenza di campi elettrici e magnetici, invarianti per l’azione di un gruppo di simmetrie. Si intende inoltre considerare il caso di potenziali elettromagnetici singolari che danno origine all’effetto di “Aharonov-Bohm”.
Per quanto riguarda le equazioni di Schrödinger quasi-lineari, a partire dal recente lavoro svolto in [CJS10], siamo interessati ad alcune questioni di stabilità e dinamica solitonica per una classe di dati iniziali non-degeneri. Per quanto riguarda l’analisi numerica delle soluzioni di (NSE), si sono mostrati particolarmente efficaci i metodi numerici di splitting esponenziale di ordine elevato ([CNT09],[CS10]), che si possono estendere anche al caso di soluzioni dell'equazione di Schrödinger con campo magnetico esterno ([SQ09]), o al caso di sistemi accoppiati di equazioni di Schrödinger, studio che intendiamo svolgere nel progetto in relazione alle proprietà qualitative della dinamica solitonica ([MPSa10],[MPSb10]). Nel contesto dell’intero progetto, le proprietà di simmetria delle soluzioni delle equazioni in studio giocano un ruolo rilevante. A questo proposito siamo interessati a proseguire le ricerche avviate sulla simmetria dei minimi e dei punti critici di minimax nell'ambito astratto della teoria dei punti critici non-liscia. Si vedano i lavori [JS10], [SQa10], [SQb10].

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

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FIRB VALUTATO POSITIVAMENTE
Funds: requested
Syllabus: FINANZMIUR - Finanziamento MIUR per la ricerca

Project participants

Marco Squassina
Associate Professor
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