Metodi variazionali e problemi ellittici nonlineari dalle Scienze Applicate (FIRB 2008)

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Starting date
January 1, 2009

Duration (months)
72

Departments
Computer Science

Managers or local contacts
Squassina Marco

Description

Stabilità orbitale, dinamica solitonica e limite semi-classico per standing waves di equazioni e sistemi di Schrodinger nonlineari:

Siamo interessati a stabilire opportune condizioni per cui il problema di Cauchy associato ad un sistema di m equazioni di Schrodinger accoppiate ammetta un'unica soluzione globale. Per m=1 il problema e' stato completamente risolto da Cazenave. Alcuni recenti lavori riguardano il caso m=2. Proveremo quindi a studiare la stabilità orbitale delle standing waves per un sistema generale di m equazioni di Schrodinger accoppiate nel caso generale di operatori non necessariamente autonomi.

Siamo interessati allo studio della dinamica solitonica per equazioni e sistemi di Schrodinger in presenza di un campo magnetico esterno assegnato, in particolare nel caso in cui vengano assegnati dei dati iniziali multi-bump (ossia una somma di soluzioni, centrate in punti diversi di opportune equazioni ellittiche associate all'equazione di Schrodinger). Per il caso multi-bump ci sono alcuni interessati lavori di fisici matematici contenenti interessanti congetture. Al momento non sono noti risultati rigorosi.

Siamo interessati alle simulazioni numeriche (e all'implementazione di opportuni metodi numerici per lo studio di equazioni di Schrodinger con un campo magnetico) per corroborare le conclusioni analitiche ottenute e suggerire nuove direzioni di ricerca.

Consideriamo anche l'equazione stazionaria non lineare di Schrodinger con una non-linearita' dispari e sottocritica in presenza di un potenziale V uniformemente positivo e studiamo l'esistenza e la molteplicità di soluzioni che cambiano segno nello spazio N-dimensionale. Siamo interessati soprattutto alla forma di tali soluzioni nel limite semiclassico. Non si richiede alcuna ipotesi di simmetria su V. E' noto che tale equazione ammette soluzioni a piu' picchi con ciascun picco concentrato vicino a un diverso punto critico di V. Kang e Wei hanno provato l'esistenza di una soluzione positiva "a grappolo" con k picchi intorno a un punto di massimo locale di V. Mentre ci si aspetterebbe che una soluzione "a grappolo" che cambi segno con picchi positivi e negativi esista nel caso di un minimo, questo e' noto solo nel caso unidimensionale, o sotto opportune ipotesi di simmetria, o per soluzioni a due picchi (uno positivo e uno negativo). Il nostro risultato si puo' cosi riassumere: dato un punto P di minimo locale, eventualmente degenere, del potenziale V, e dati due interi positivi h, k con h+k<7, costruiamo una soluzione con h picchi positivi e k picchi negativi che collassano in P. Per un numero di picchi maggiore di 6 il metodo usato non funziona per via delle mancanza di compattezza in alcune
configurazioni di punti. Nel prossimo futuro intendiamo proseguire lo studio della molteplicita' di soluzioni a piu' picchi che cambiano segno. Ci proponiamo di approfondire l'analisi delle tecniche basate su principi di min-max al fine di sviluppare argomenti che si applichino ad altri problemi che coinvolgono la concentrazione in punti con polarita' opposte. In particolare l'interesse sara' rivolto all'esistenza di vortici in domini 2-dimensionali, con applicazioni a soluzioni di tipo blow-up per l'equazione di sinh-Poisson, di Liouville e di Lane-Emden-Fowler in domini limitati con condizioni di Dirichlet sul bordo. Mentre c'e' un'ampia letteratura riguardo soluzioni positive, ci sono pochi lavori sulle soluzioni che cambiano segno, ad eccezione del caso radiale (che consente di applicare metodi, come l'uso di vincoli naturali, che non funzionano nel caso non radiale) e di un risultato di Bartsch-Pistoia-Weth, dove si costruiscono soluzioni nodali con 3 e 4 punti di blow-up. L'obiettivo sara' quello di utilizzare il metodo di riduzione di Lyapunov-Schmidt, che riduce il problema a trovare un punto critico per un funzionale su uno spazio finito-dimensionale, al fine di definire un'opportuna struttura di tipo linking per il funzionale ridotto
che fornisca un punto critico utilizzando un argomento di min-max. L'interazione tra ciascuna coppia di picchi e tra ciascun picco e il bordo gioca senz'altro un ruolo cruciale. Piu' precisamente, ci si aspetta che soluzioni che cambiano segno con piu' punti di blow-up siano generate dalla combinazione di tre effetti: l'effetto repulsivo tra picchi dello stesso segno, l'effetto attrattivo tra picchi di segno opposto e la forza esercitata dal bordo su ciascun picco. Tali forze reciproche potrebbero bilanciarsi per un'opportuna configurazione di equilibrio dando luogo all'esistenza di tali soluzioni.

Un area di ricerca di particolare interesse in Analisi Non lineare, riguarda lo studio delle standing waves per equazioni nonlineari dispersive, in particolare l'equazione nonlineare di Schrödinger. Recentemente, l'attenzione e' stata principalmente rivolta al problema dell'instabilità dei bound states (essenzialmente, delle standing waves che non minimizzano un certo funzionale dell'energia). Questo è un problema aperto dall'inizio degli anni 80': quando si prova a mettere in opera la procedura classica per studiare la stabilità/instabilità, l'assenza di caratterizzazione variazionale ad hoc é un grosso ostacolo. Invece di cercare una caratterizzazione variazionale adeguata, un possibile approccio e' quello di usare informazioni sull'indice di Morse, che si rivelano molto facili da ottenere, almeno per una grande classe di bound states. Si vuole dimostrare un risultato generale di instabilità per i bound states che soddisfano una condizione geometrica per l'instabilità e in seguito usare il loro indice di Morse per dimostrare che la condizione per l'instabilità è verificata da una vasta gamma di bound states.

Si vorrebbero studiare in modo approfondito i bound state standing waves dell'equazione di Schrodinger non lineare. Dal punto di vista dell'esistenza, potrebbero esistere molti altri tipi di bound states oltre a quelli già conosciuti. In particolare, i recenti sviluppi nello studio dei fenomeni di rottura della simmetria potrebbero aiutare a trovare nuovi bound states non simmetrici. Inoltre é interessante tentare una classificazione dei bound states, per esempio secondo le loro regioni nodali, e cercare di trarne risultati di unicità. Dal punto di vista della stabilità, il fenomeno dell'instabilità per i bound states potrebbe essere l'oggetto di ulteriori investigazioni. La questione dell'instabilità per esplosione dei bound states è particolarmente interessante. Progressi maggiori su questa congettura, formulata da Berestycki e Lions nel 1983, potrebbero essere ottenuti traendo profitto delle tecniche recentemente sviluppate per studiare le soluzioni delle PDE ellittiche non lineari che cambiano segno. Siamo anche interessati alla possibile estensione dei risultati menzionati al caso dei sistemi di due equazioni di Schrodinger accoppiate.

Sponsors:

FIRB VALUTATO POSITIVAMENTE
Funds: requested
Syllabus: FINANZMIUR - Finanziamento MIUR per la ricerca

Project participants

Marco Squassina
Associate Professor

Marco Caliari
Università di Verona Borsista
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