Interpolazione ed Estrapolazione: nuovi algoritmi ed applicazioni

Data inizio
1 gennaio 2009
Durata (mesi) 
24
Dipartimenti
Informatica
Responsabili (o referenti locali)
Caliari Marco
Parole chiave
interpolazione, estrapolazione, polinomi

Questo progetto riguarda due argomenti importanti dell'approssimazione numerica, l'interpolazione polinomiale (caso multivariato), e i metodi di estrapolazione (con applicazioni all'algebra lineare numerica). Il gruppo di ricerca ha già basi solide e buone prospettive, in particolare nell'ottica della produzione di software numerico, e beneficerà di una rete consolidata di collaborazioni nazionali e internazionali (L. Bos (Calgary), C. Brezinski (Lille), Y. Xu (Eugene)) e potrà interagire fortemente grazie ai legami esistenti tra le due tematiche.

1) Interpolazione polinomiale multivariata

Si tratta di un campo di ricerca sostanzialmente aperto [e]. Un punto di svolta è stato fornito dai cosiddetti "punti di Padova" nel quadrato, che sono il primo esempio noto di punti unisolventi 2d la cui costante di Lebesgue abbia ordine di crescita minimale O(log^2(n)) [a,f]. Un'altra direzione è data dal calcolo di "punti approssimati di Fekete" a partire da matrici di Vandermonde tramite fattorizzazioni QR [b,h] (evitando così problemi di ottimizzazione nonlineare su larga scala).
Un approccio alternativo è l'iperinterpolazione, cioè sviluppi di Fourier in serie di polinomi ortogonali discretizzati con formule di cubatura algebriche di grado elevato [g].
Le direzioni principali in questo progetto sono:
- cercare di estendere la costruzione geometrica dei punti di Padova ad altri domini multivariati;
- sviluppare il metodo dei "punti approssimati di Fekete" nel caso reale (interpolazione, cubatura e collocazione multivariata su geometrie arbitrarie) e nel caso complesso (calcolo di equilibri piani discreti, di filtri polinomiali per l'elaborazione di segnali e sistemi mal condizionati, di funzioni di matrice);
- estendere ed implementare in modo efficiente l'iperinterpolazione in dimensione maggiore di 2, anche con produzione di software.

2) Metodi di estrapolazione: strumenti e applicazioni

In numerosi ambiti scientifici si presentano successioni e serie che convergono in modo così lento, da costituire un serio svantaggio per il loro utilizzo.
I metodi di estrapolazione sono alla base di nuovi metodi per la soluzione di tali problemi e di altri collegati (per una panoramica, si veda [c]). Di particolare interesse sono i nuovi metodi di estrapolazione per successioni vettoriali. Per essi bisogna ottenere algoritmi ricorsivi che vanno programmati con estrema cura. Si devono anche cercare risultati teorici sulla convergenza e l'accelerazione, non così facili da ottenere, nonchè generalizzazioni di strumenti di algebra lineare (complementi di Schur, identità determinantali, ...).
Si studieranno con particolare attenzione due applicazioni principali:
- accelerazione di metodi iterativi per il calcolo di autovettori di matrici stocastiche riducibili (in particolare il PageRank di Google): il processo è molto lento e una della possibilità per accelerarlo è l'utilizzo di metodi di estrapolazione [1,2], anche su computer paralleli;
- individuazione, studio e test delle soluzioni regolarizzate di sistemi lineari mal condizionati nel caso multiparametrico [d], che hanno applicazioni in numerosi ambiti (image restoration, medical imaging, ...).
Il coordinatore scientifico del Progetto è la Prof.ssa Michela Redivo Zaglia dell'Università di Padova.

Enti finanziatori:

Università degli studi di Padova
Finanziamento: assegnato e gestito da un ente esterno all'ateneo

Partecipanti al progetto

Collaboratori esterni

Marco Vianello
Padova Matematica Pura ed Applicata
Alvise Sommariva
Universita` di Padova Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata
Giuseppe Rodriguez
Universita` di Cagliari Dipartimento di Matematica
Leonard Peter Bos
University of Calgary Department of Mathematics and Statistic
Yuan Xu
Oregon University Department of Mathematics
Claude Brezinski
Université des Sciences et Technologies Laboratoire Paul Painlevé
Michela Redivo Zaglia
Universita` di Padova Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata

Attività

Strutture