Teoria tilting, localizazzione e purità in categorie di moduli e categorie derivate (PRIN 2009)

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Starting date
July 15, 2011

Duration (months)
12

Departments
Computer Science

Managers or local contacts
Angeleri Lidia

Description

Unità Locale di Verona all'interno di un progetto coordinato da Alberto Facchini, Università di Padova.

C'è uno stretto legame fra teoria tilting, localizzazione e purità. I moduli tilting spesso nascono da localizzazioni e contemporaneamente inducono localizzazioni di Bousfield nella categoria derivata. L'esempio di un dominio di Dedekind illustra questo fenomeno: i moduli tilting su R sono parametrizzati dai sottoinsiemi dello spettro MaxSpecR, ovvero, sono in corrispondenza biunivoca (a meno di equivalenza) con le localizzazioni universali di R, che a loro volta sono in biiezione con i recollements della categoria derivata illimitata D(R).
Anche uno dei risultati principali della teoria tilting, il fatto che ogni modulo tilting finitamente presentato T su un anello R induce un'equivalenza derivata fra R e l'anello degli endomorfismi S di T, è connesso alla localizzazione. Infatti, la categoria degli S-moduli risulta essere il cuore di una t-struttura indotta da T nella categoria derivata di R.
Infine, i moduli tilting danno luogo a sottocategorie definibili della categoria dei moduli e sono quindi legati al concetto di purità. Ciò permette anche di associare gli R-moduli tilting a coppie di torsione ereditarie nella categoria dei funtori C=(Rmod, Ab).
Queste connessioni non sono ancora del tutto comprese, e il loro potenziale non è sfruttato appieno. Scopo del progetto, pertanto, è di approfondire l'analisi dell'interazione fra teoria tilting, tecniche di localizzazione, e domande legate alla purità. Ciò avviene sia attraverso lo studio di questioni intrinseche ai moduli o complessi tilting, sia attraverso l'applicazione di risultati e tecniche della teoria tilting ad alcuni problemi aperti sorti in contesti differenti. In seguito si descrivono alcuni degli argomenti che ci proponiamo di trattare.
La prima domanda riguarda l'equivalenza tilting fra categorie derivate. Il risultato menzionato sopra, che risale a un lavoro di Happel del 1987, è stato recentemente generalizzato da Bazzoni, Mantese e Tonolo ai moduli tilting grandi, cioè non necessariamente finitamente presentati. Il passo successivo adesso sarà trovare il risultato corrispondente per i complessi tilting. Questi ultimi sono la generalizzazione naturale dei moduli tilting alla categoria derivata, e hanno lo stesso ruolo dei progeneratori in categorie di moduli. Infatti, in un risultato fondamentale, Rickard dimostrò nel 1989 che ogni equivalenza fra categorie derivate è indotta da un complesso tilting compatto. Anche questo risultato si estende al caso grande, cioè ai complessi tilting non necessariamente compatti? Dato il forte impatto su varie aree della matematica della teoria di Morita sviluppata da Rickard, ci si aspetta che una tale generalizzazione conduca a interessanti nuove applicazioni. I moduli tilting grandi, ad esempio, sono impiegati in alcuni problemi di teoria delle rappresentazioni o di algebra commutativa.
Studieremo anche la situazione duale, ovvero, dualità fra categorie derivate indotte da moduli o complessi cotilting. Inoltre proseguiremo alcune ricerche sul cuore H di una t-struttura in D(R). E' noto che H è sempre una categoria abeliana, ma quando è una categoria di Grothendieck o una categoria di moduli?
Un altro gruppo di problemi è imperniato sul concetto di localizzazione. Abbiamo visto sopra che la localizzazione universale serve a ottenere un elenco completo dei moduli tilting su un domino di Dedekind. Vogliamo estendere ad altri anelli queste tecniche di classificazione. Sono già noti risultati in questo senso sui domini di Prüfer e sulle algebre ereditarie tame di dimensione finita. Vogliamo inoltre discutere la relazione fra moduli tilting e nozioni di spettro per un anello non commutativo.
Passiamo adesso ad alcuni problemi aperti che vogliamo trattare con metodi della teoria tilting. E' stato dimostrato da Angeleri Hügel, König e Liu che ogni modulo partial tilting su un anello R da luogo a un recollement di D(R) tramite sottocategorie triangolate X e Y che spesso sono perfino categorie derivate di anelli. Questo è un punto di partenza per costruire e confrontare recollement iterati, ovvero stratificazioni di D(R) analoghe a stratificazioni geometriche o topologiche o a serie di composizione di oggetti algebrici. Spesso le dimostrazioni in K-teoria, o i calcoli su invarianti omologiche, usano un'induzione sulla lunghezza di una tale stratificazione. E' quindi naturale chiedersi se valgono teoremi alla Jordan Hölder. Questo problema, sorto con il lavoro di Cline, Parshall e Scott del 1988, non è stato ancora risolto. Solo molto recentemente si sono ottenuti primi risultati grazie alla connessione con la teoria tilting.
Infine ci occuperemo di alcune questioni legate alla purità. Vogliamo studiare gli anelli ereditari puro-semisemplici impiegando l'equivalenza tilting e la dualità cotilting. Ci proponiamo anche di studiare una domanda sulla dimensione puro-globale generalizzata posta da Neeman e Rosicky.

Sponsors:

PRIN VALUTATO POSITIVAMENTE
Funds: requested
Syllabus: COFIN - Progetti di Ricerca di Interesse Nazionale

Project participants

Lidia Angeleri
Associate Professor
Enrico Gregorio
Associate Professor
Francesca Mantese
Assistant Professor
Research areas involved in the project
Matematica Discreta e Computazionale
Associative rings and algebras - -
ornamento
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