Analisi matematica I (2008/2009)

Corso a esaurimento

Codice insegnamento
4S00030
Crediti
6
Coordinatore
Sisto Baldo
L'insegnamento è organizzato come segue:
Modulo Crediti Settore disciplinare Periodo Docenti
mod.1 3 MAT/05-ANALISI MATEMATICA 1° Q - solo 1° Anno, 2° Q Sisto Baldo
mod.2 3 MAT/05-ANALISI MATEMATICA 1° Q - solo 1° Anno, 2° Q Sisto Baldo

Obiettivi formativi

Modulo: mod.2
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Nel secondo modulo si completa il quadro del calcolo differenziale per funzioni
di una variabile e si presentano il calcolo integrale e le serie numeriche.


Modulo: mod.1
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Lo scopo di questo insegnamento è quello di presentare allo studente le nozioni fondamentali dell'analisi matematica per funzioni reali di una variabile reale,
con particolare attenzione agli aspetti concreti ed applicativi.
Il primo modulo è dedicato all'introduzione del sistema dei numeri reali, alle
nozioni di limite e di continuità ed alle basi del calcolo differenziale.

Programma

Modulo: mod.2
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Teorema del valor medio: uso della derivata nello studio della crescenza e decrescenza di una funzione. Teoremi di L'Hopital (senza dimostrazione). Approssimazione di una funzione con polinomi: teorema di Taylor con resto di Peano e di Lagrange. Sviluppi di Taylor di funzioni elementari. Introduzione al concetto di serie (numerica e di potenze). Cenni sulla sviluppabilità (o meno) in serie di Taylor di una funzione infinitamente derivabile.

Il problema del calcolo dell'area di una figura curvilinea: euristica e definizione precisa di integrale secondo Riemann. Integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni continue. Teorema fondamentale del calcolo integrale: relazione tra integrale e derivata. Regole di integrazione e calcolo di integrali.
Integrali impropri o generalizzati.

Risoluzione di equazioni differenziali del primo ordine, lineari ed a variabili
separabili. Problema di Cauchy.

Serie numeriche: definizione e principali criteri di convergenza. Cenni sulle serie di potenze.

NOTE. 1. Per entrambi i moduli, verranno redatti appunti delle lezioni.
2. Il programma è di massima e può leggermente variare.


Modulo: mod.1
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Richiami sugli insiemi numerici N, Z, Q. L'insieme R dei numeri reali: assioma di completezza. Massimo e minimo di un sottinsieme di R, maggioranti e minoranti. Concetto di estremo superiore. Funzioni reali di variabile reale: dominio, codominio,immagine, grafico in un piano cartesiano. Semplici manipolazioni di grafici. Funzioni elementari e loro grafici. Funzioni trigonometriche e loro inverse, funzione esponenziale e logaritmo.

Concetto intuitivo di limite: esame del comportamento della funzione sin(x)/x per angoli piccoli. Definizione e proprietà elementari dei limiti. Limiti infiniti e all'infinito. Forme indeterminate.

Successioni e loro limiti. Caratterizzazione dei limiti di funzione tramite le successioni. Esistenza dei limiti delle successioni monotone. Alcuni limiti fondamentali.

Funzioni continue. Teoremi fondamentali sulle funzioni continue: teorema di esistenza degli zeri, dei valori intermedi, di Weierstrass.

"Pendenza di una retta" ed idea euristica di pendenza istantanea del grafico di una funzione (velocità istantanea, tasso istantaneo di crescita): introduzione al concetto di derivata. Uso della derivata nello studio del grafico di una funzione e nella soluzione di semplici problemi applicativi.

Derivate delle funzioni elementari, continuità delle funzioni derivabili, regole di derivazione. Funzioni convesse: definizione di convessità per le funzioni derivabili e nel caso generale. Caratterizzazione della convessità tramite la derivata prima e la derivata seconda. Continuità delle funzioni convesse all'interno dell'intervallo su cui sono definite.

Modalità d'esame

Modulo: mod.2
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Esame scritto e orale.


Modulo: mod.1
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Prova scritta ed esame orale.

Statistiche per i requisiti di trasparenza (Attuazione Art. 2 del D.M. 31/10/2007, n. 544)

Statistiche esiti
Esiti Esami Esiti Percentuali Media voti Deviazione Standard
Positivi 40.35% 24 4
Respinti --
Assenti 45.61%
Ritirati --
Annullati 14.03%
Distribuzione degli esiti positivi
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 30 e Lode
8.6% 8.6% 8.6% 4.3% 8.6% 17.3% 17.3% 0.0% 0.0% 0.0% 4.3% 0.0% 4.3% 17.3%

Valori relativi all'AA 2008/2009 calcolati su un totale di 57 iscritti. I valori in percentuale sono arrotondati al numero intero più vicino.