Complessità (2007/2008)

Corso a esaurimento

Codice insegnamento
4S00061
Docente
Isabella Mastroeni
crediti
5
Altri corsi di studio in cui è offerto
Settore disciplinare
INF/01 - INFORMATICA
Lingua di erogazione
Italiano
Periodo
1° Q dal 3-ott-2007 al 4-dic-2007.

Orario lezioni

1° Q
Giorno Ora Tipo Luogo Note
lunedì 9.30 - 11.30 lezione Aula C  
mercoledì 10.30 - 12.30 lezione Aula C  
giovedì 9.30 - 10.30 lezione Aula C  

Obiettivi formativi

Il corso è costituito da un'introduzione alla complessità strutturale, con particolare attenzione alla teoria del NP-completezza, e da un'introduzione alla analisi di complessità dei problemi rispetto alla loro approssimabilità computazionale.

Scopo di tale introduzione è fornire agli studenti gli strumenti necessari per comprendere e affrontare la difficoltà nel risolvere alcuni problemi comuni da un punto di vista computazionale.

Il corso viene svolto in 40 ore di lezione frontale.

Programma

Concetto di modello di calcolo, risorsa computazionale, algoritmo efficiente e problema trattabile.
Richiamo del concetto di ordine di grandezza. Richiamo dei concetti principali inerenti all'espressioni booleane.

Problemi computazionali: descrizione, istanze, codifica, relazione con i linguaggi. Esempi di problemi: RAGGIUNGIBILITÀ (PATH), MASSIMO FLUSSO (MAX FLOW) e SODDISFACIBILITÀ (SAT).

Modelli di calcolo
Macchina di Turing (MdT): definizione, funzionamento, concetto di configurazione, produzione e di computazione. Esempio di MdT. MdT e linguaggi: differenza tra accettare e decidere un linguaggio. Estensione della MdT: MdT a più nastri (k-MdT).

Complessità in tempo
La risorsa computazionale tempo. Classe di complessità TIME(). Teorema di relazione polinomiale tra le computazioni delle macchine k-MdT e MdT (idea della dimostrazione).
Introduzione al modello di calcolo "Macchina ad accesso casuale" (RAM = Random Access Machine): concetti di configurazione, programma e computazione. Macchina ad accesso casuale (RAM): tempo di computazione secondo il criterio di costo uniforme e costo logaritmico. Ipotesi necessarie per poter utilizzare il criterio del costo uniforme.
Esempio di programma RAM per calcolare il prodotto di due interi.
Teorema sul costo di simulazione di una MdT mediante un programma RAM (idea della dimostrazione).
Teorema sul costo di simulazione di un programma RAM mediante una MdT (solo enunciato).
Tesi del calcolo sequenziale e sue conseguenze.
Teorema dell'accelerazione lineare (linear speed-up) e sue conseguenze.
La classe di complessità P.
Esempio di problemi della classe P: PATH, MAX FLOW, con analisi dei possibili algoritmi di risoluzione per MAX FLOW, ACCOPPIAMENTO PERFETTO (PERFECT MATCHING).

Estensione della MdT: MdT non deterministica (NMdT).
La risorsa tempo nelle NMdT a k-nastri. Classe di complessità NTIME().
Esempio di algoritmo non deterministico computabile da una NMdT: algoritmo per SODDISFACIBILITÀ (SAT).
Relazione tra NMdT e MdT.
La classe di complessità NP.
Relazione tra NP e P. Esempio di problema in NP: problema del COMMESSO VIAGGIATORE (TSP).
Caratterizzazione alternativa della classe NP: verificatori polinomiali.
La classe di complessità EXP.

Complessità in spazio
Concetto di complessità spaziale. Macchina di Turing con input e output. Classi di complessità SPACE() e NSPACE().
Teorema di compressione (solo enunciato, dimostrazione per esercizio).
Classi di complessità L e NL.
Esempi di problemi: PALINDROME appartenente a L e PATH in NL.

Teoremi di relazione tra spazio e tempo di computazione per una MdT con I/O.
Relazioni tra classi di complessità
Concetto di funzione propria ed esempi di funzioni.
Il teorema del gap di Borodin (solo enunciato).

Il metodo di raggiungibilità. Teorema di inclusione tra classi in tempo e in spazio: NTIME(f(n)), SPACE(f(n)), NSPACE(f(n)), TIME(k(log n+f(n))).
Concetto di Macchina di Turing Universale.
L'insieme Hf.
Lemma 1 per il teorema di gerarchia temporale. Lemma 2 per il teorema di gerarchia temporale.
Teorema di gerarchia in tempo: versione lasca e versione stretta. Corollario relazione tra P ed EXP.
Teorema di gerarchia spaziale (solo enunciato). Corollario relazione tra L e PSPACE.
Teorema di Savitch. Corollario SPACE(f(n))=SPACE(f(n) al quadrato). Corollario PSPACE=NPSPACE.

Riduzioni e completezza
Concetto di riduzione e di riduzione logaritmica in spazio.
Esempio di riduzione: HAMILTON PATH a SAT, PATH a CIRCUIT VALUE, CIRCUIT SAT a SAT.
Esempio di riduzione per generalizzazione.
Proprietà delle riduzioni: transitiva e riflessiva.
Concetto di completezza di un linguaggio.
Concetto di chiusura rispetto alla riduzione. Chiusura delle classi L, NL, P, NP, PSPACE e EXP.
Concetto di tabella di computazione.
Dimostrazione che CIRCUIT VALUE è P-completo.
Dimostrazione alternativa del teorema di Cook: CIRCUIT SAT è NP-completo.
Esempi di problemi NP-completo e loro riduzioni: SAT e sue varianti (3SAT, 3SAT con vincoli). Il caso 2SAT.
Concetto di gadget e dimostrazione della completezza del problema dell'INSIEME DI INDIPENDENZA (INDEPENDENT SET).
Problemi collegati: CRICCA (CLIQUE) e RICOPRIMENTO DI VERTICI (VERTEX COVER). Cenni sulla completezza dei problemi: MASSIMO TAGLIO, K-COLORABILITÀ, CIRCUITO HAMILTONIANO, COMMESSO VIAGGIATORE, ACCOPPIAMENTO TRIDIMENSIONALE, MIN SET COVER, SET PACKING.

Cenni sulla completezza della PROGRAMMAZIONE LINEARE INTERA, ZAINO e RIEMPIMENTO DEI CESTINI (BIN PACKING). Concetto di algoritmo pseudo polinomiale. Problemi fortemente NP-completi.

Algoritmi di approssimazione e classi di complessità approssimate.

Concetto di soluzione approssimata e di algoritmo approssimante. Esempi. Concetto di classificazione dei problemi in base alla loro approssimabilità computazionale. Principali classi di approssimazione computazionale: FPTAS, PTAS, APX, NPO. Esempi di problemi approssimabili e non approssimabili.

Modalità d'esame

L'esame consiste in una prova scritta e una orale (non obbligatoria).

Nella prova scritta il candidato dovrà risolvere degli esercizi in ordine crescente di difficoltà. Gli esercizi hanno lo scopo di verificare la preparazione dello studente sui concetti fondamentali e la loro applicazione. Non viene MAI richiesto di conoscere a memoria dettagli di dimostrazioni, ma di conoscere i teoremi, la loro dimostrazione nei punti fondamentali e di saperli applicare.

Chi supera la prova scritta può sostenere la prova orale o chiedere la 'conferma' del voto. In caso di conferma del voto scritto, il voto finale non potrà mai essere superiore a 24: votoFinale = (votoScritto > 24) ? 24 : votoScritto;

La prova orale consiste in un colloquio. Il colloquio ha lo scopo di verificare la capacità dello studente di presentare gli argomenti e i principali risultati. Per quanto riguarda le dimostrazioni dei teoremi, lo studente è tenuto a conoscere le dimostrazioni principali fatte durante il corso (segnalate sul programma).

Statistiche per i requisiti di trasparenza (Attuazione Art. 2 del D.M. 31/10/2007, n. 544)

Statistiche esiti
Esiti Esami Esiti Percentuali Media voti Deviazione Standard
Positivi 21.21% 22 3
Respinti 16.66%
Assenti 47.47%
Ritirati 14.64%
Annullati --
Distribuzione degli esiti positivi
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 30 e Lode
33.3% 9.5% 9.5% 4.7% 4.7% 9.5% 9.5% 2.3% 4.7% 2.3% 0.0% 2.3% 2.3% 4.7%

Valori relativi all'AA 2007/2008 calcolati su un totale di 198 iscritti. I valori in percentuale sono arrotondati al numero intero più vicino.