Calcolo numerico (2007/2008)

Corso disattivato

L'insegnamento è organizzato come segue:
Modulo Crediti Settore disciplinare Periodo Docenti
Teoria 6 MAT/08-ANALISI NUMERICA 1° Q, 2° Q Stefano De Marchi
Laboratorio 2 MAT/08-ANALISI NUMERICA 1° Q, 2° Q Marco Caliari

Obiettivi formativi

Modulo: Teoria
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Nel corso verranno studiati i metodi numerici più importanti per la soluzione di problemi classici dell'analisi matematica. Al di là del necessario bagaglio teorico per la comprensione dei contenuti, particolare enfasi sarà data all'aspetto algoritmico sia dal punto di vista dell'implementazione, complessità ed efficienza del calcolo, nonché agli aspetti più puramente numerici di convergenza e di stabilità. L'obiettivo è quindi di fornire allo studente, oltre alla necessaria conoscenza dei metodi, soprattutto l'analisi e maturare una "sensibilità numerica", ingrediente fondamenentale nella soluzione di problemi reali.


Modulo: Laboratorio
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Implementazione mediante Matlab e/o GNU Octave dei principali algoritmi del calcolo numerico.

Programma

Modulo: Teoria
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* Analisi degli errori
Rappresentazione dei numeri. Errore assoluto ed errore relativo. Numeri di macchina ed errori connessi. Algoritmi per il calcolo di una espressione. Condizionamento dei problemi e stabilità dei metodi.
* Equazioni non lineari.
Metodo di bisezione. Iterazione di punto fisso: generalità, convergenza e criteri di arresto. Metodo delle secanti, di Newton e accelerazione di Aitken. Polinomi algebrici: schema di Horner.
* Sistemi lineari.
Metodi diretti: fattorizzazione LU e tecnica del pivoting, sostituzione in avanti ed all'indietro, algoritmo di Thomas per sistemi tridiagonali.
Metodi iterativi: i metodi di Jacobi, di Gauss-Seidel ed SOR. Raffinamento iterativo. Metodo di Richardson e del gradiente. Sistemi sparsi e a banda. Soluzione di sistemi sovra e sotto-determinati.
* Autovalori ed autovettori.
Localizzazione degli autovalori: cerchi di Gershgorin. Metodo delle potenze e delle potenze inverse, metodo QR e sue varianti. Autovalori di matrici tridiagonali: tecnica di Schur.
* Interpolazione e approssimazione di funzioni e di dati.
Interpolazione polinomiale: forma di Lagrange e di Newton. Stima dell'errore di approssimazione. Interpolazione trigonometrica e Fast Fourier Transform (FFT). Interpolazione polinomiale a tratti e funzioni "splines".
Approssimazione di funzioni: approssimante di Bernstein, curve di Bézier. Metodo dei minimi quadrati e SVD.
* Derivazione ed integrazione numerica.
Semplici formule d'approssimazione delle derivate e relativo errore.
Integrazione numerica o quadratura: formule di tipo interpolatorio semplici e composite. Errore di quadratura. Adattatività. Formule di tipo gaussiano.


Modulo: Laboratorio
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* Analisi degli errori
Overflow, underflow, errori di cancellazione.
* Equazioni non lineari.
Metodo di bisezione. Iterazione di punto fisso. Metodo delle secanti, di Newton e accelerazione di Aitken. Polinomi algebrici: schema di Horner.
* Sistemi lineari.
Metodi diretti: fattorizzazione LU e tecnica del pivoting, sostituzione in avanti ed all'indietro, algoritmo di Thomas per sistemi tridiagonali.
Metodi iterativi: i metodi di Jacobi, di Gauss-Seidel ed SOR. Raffinamento iterativo. Metodo di Richardson e del gradiente. Sistemi sparsi e a banda. Soluzione di sistemi sovra e sotto-determinati.
* Autovalori ed autovettori.
Localizzazione degli autovalori: cerchi di Gershgorin. Metodo delle potenze e delle potenze inverse, metodo QR e sue varianti. Autovalori di matrici tridiagonali: tecnica di Schur.
* Interpolazione e approssimazione di funzioni e di dati.
Interpolazione polinomiale: forma di Lagrange e di Newton. Stima dell'errore di approssimazione. Interpolazione trigonometrica e Fast Fourier Transform (FFT). Interpolazione polinomiale a tratti e funzioni "splines".
Approssimazione di funzioni: approssimante di Bernstein, curve di Bézier. Metodo dei minimi quadrati e SVD.
* Derivazione ed integrazione numerica.
Semplici formule d'approssimazione delle derivate e relativo errore.
Integrazione numerica o quadratura: formule di tipo interpolatorio semplici e composite. Errore di quadratura. Adattatività. Formule di tipo gaussiano.

Modalità d'esame

Modulo: Teoria
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La verifica del profitto avviene mediante una prova in laboratorio, nella quale dovranno essere risolti alcuni problemi mediante
anche un'analisi teorica, basata sulle conoscenze acquisite sia durante il corso che nei corsi fondamentali di analisi, algebra e geometria, nonché la relativa risoluzione numerica mediante l'uso di Matlab/Octave.
L'elaborato consisterà quindi di una parte scritta e di un insieme
di files, in Matlab/Octave, che corrisponderanno alle implementazioni richieste per risolvere numericamente i problemi proposti.

La votazione riportata nella prova di laboratorio è quella definitiva per gli studenti di Informatica Multimediale - fatto salvo il diritto di ciascuno studente di sostenere anche l' esame orale - mentre per gli studenti di Matematica Applicata è richiesta, per la formazione del voto finale, anche la prova orale.


Modulo: Laboratorio
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La verifica del profitto avviene mediante una prova in laboratorio, nella quale dovranno essere risolti alcuni problemi mediante
anche un'analisi teorica, basata sulle conoscenze acquisite sia durante il corso che nei corsi fondamentali di analisi, algebra e geometria, nonché la relativa risoluzione numerica mediante l'uso di Matlab e/o GNU Octave.

Statistiche per i requisiti di trasparenza (Attuazione Art. 2 del D.M. 31/10/2007, n. 544)

Statistiche esiti
Esiti Esami Esiti Percentuali Media voti Deviazione Standard
Positivi 48.83% 22 3
Respinti 20.93%
Assenti 18.60%
Ritirati 9.30%
Annullati 2.32%
Distribuzione degli esiti positivi
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 30 e Lode
19.0% 14.2% 9.5% 4.7% 9.5% 9.5% 0.0% 9.5% 4.7% 14.2% 4.7% 0.0% 0.0% 0.0%

Valori relativi all'AA 2007/2008 calcolati su un totale di 43 iscritti. I valori in percentuale sono arrotondati al numero intero più vicino.