Analisi matematica II (2006/2007)

Corso disattivato

Codice insegnamento
4S00031
Crediti
10
Coordinatore
Giandomenico Orlandi
Altri corsi di studio in cui è offerto
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L'insegnamento è organizzato come segue:
Modulo Crediti Settore disciplinare Periodo Docenti
Modulo base 5 MAT/05-ANALISI MATEMATICA 1° Q Giandomenico Orlandi
Modulo avanzato 5 MAT/05-ANALISI MATEMATICA 2° Q Giandomenico Orlandi

Obiettivi formativi

Modulo: Modulo base
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Nel corso vengono approfonditi i concetti del calcolo differenziale ed integrale introdotti nel corso di Analisi Matematica 1, con l'obiettivo di completare la preparazione di base nella materia, e fornire inoltre alcuni prerequisiti specifici indispensabili per il prosieguo del corso di studi.
Sintesi del programma:
Serie di potenze. Serie di Fourier. Equazioni differenziali ordinarie. Funzioni di più variabili reali. Integrali multipli.


Modulo: Modulo avanzato
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Vengono ompletati ed approfonditi gli argomenti affrontati nel modulo base.
Spazi metrici. Equazioni differenziali ordinarie. Trasformata di Fourier e di Laplace. Curve e superfici. Forme differenziali, teorema di Stokes. Elementi di equazioni alle derivate parziali.

Programma

Modulo: Modulo base
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* È disponibile il diario del corso aggiornato (in formato .pdf). Vale anche da programma d'esame.
* Prerequisiti. Si richiede la conoscenza del programma dei corsi di Analisi Matematica 1 ed Algebra Lineare.
* Serie di funzioni. Serie di potenze. Raggio di convergenza, sua caratterizzazione. Proprietà delle serie di potenze nell'intervallo di convergenza: derivabilità e integrabilità termine a termine. Funzioni analitiche, convergenza della serie di Taylor associata. Analiticità delle funzioni elementari. Convergenza puntuale ed uniforme, convergenza in media. Serie di Fourier: convergenza, diseguaglianza di Bessel, identità di Parseval.
* Equazioni differenziali. Il problema di Cauchy, problemi ben posti (esistenza, unicità, dipendenza continua dai dati iniziali). Teorema di Cauchy-Lipschitz di esistenza e unicità di soluzioni di problemi di Cauchy come applicazione del principio delle contrazioni. Integrazione di equazioni a variabili separabili. Integrazione dell' equazione di Bernoulli. Metodo della conservazione dell'energia per integrare y''=V'(y). Discussione qualitativa nello spazio delle fasi; soluzioni stazionarie, relazione con i punti critici di $V$. Equazioni differenziali lineari. Lo spazio vettoriale delle soluzioni dell'equazione omogenea, determinazione di una base nel caso a coefficienti costanti. Determinazione di una soluzione particolare dell'equazione non omogenea: metodo degli annichilatori, metodo della variazione dei parametri. Sistemi di n equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Particolari metodi di risoluzione: riducibilità ad un'equazione di ordine n; diagonalizzabilità del sistema omogeneo. Esponenziale di matrici. Discussione qualitativa nel piano delle fasi, stabilità delle soluzioni di equilibrio.
* Calcolo differenziale per funzioni di più variabili. Elementi di topologia di R^n. Continuità e teorema di Weierstrass per funzioni di più variabili reali. Funzioni differenziabili. Continuità delle funzioni differenziabili. Derivate direzionali e parziali, rappresentazione del differenziale attraverso il gradiente. Teorema del differenziale totale. Ortogonalità del gradiente rispetto agli insiemi di livello, direzione di massima pendenza. Matrice Jacobiana. Funzioni a valori vettoriali, curve e superfici. Vettori tangenti ad una superficie parametrica in R^3 , vettore normale. Coordinate sferiche e cilindriche in R^3 . Derivate successive, teorema di Schwartz. Matrice Hessiana. Formula di Taylor, applicazione allo studio dei punti critici di una funzione regolare. Teorema delle funzioni implicite ed inverse. Derivate di funzioni implicite. Massimi e minimi vincolati, teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
* Integrali multipli, curvilinei, superficiali. Definizione di integrale di una funzione di più variabili definita su di un rettangolo o su un dominio compatto a frontiera regolare. Integrabilità delle funzioni continue, integrazione iterata, formula di cambiamento di variabili. Volume dei solidi di rotazione, teorema di Pappo. Definizione di integrale curvilineo e di superficie e loro significato fisico. Lunghezza di una curva, area di una superficie. Rotore e divergenza di un campo vettoriale. Forme differenziali esatte e chiuse, lemma di Poincaré. Teorema di Stokes per forme, e suoi corollari per campi di vettori: teorema di Gauss-Green nel piano, teorema della divergenza e teorema di Stokes classico.
* Complementi. Generalità sulle trasformate di Laplace e di Fourier.
Il corso prevede 40 ore di lezione frontale comprensive di esercitazioni.


Modulo: Modulo avanzato
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* Spazi metrici completi. Il principio delle contrazioni in uno spazio metrico completo.
* Trasformate di Laplace e di Fourier.
* Metodi risolutivi per equazioni differnziali ordinarie.
* Teoria locale di curve e superfici
* Campi di vettori e forme differenziali
* Teorema della divergenza, Teorema di Stokes
* Introduzione alle equazioni alle derivate parziali

Modalità d'esame

Modulo: Modulo base
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L'esame finale consiste in una prova scritta comprendente una serie di esercizi, seguita, in caso di esito positivo, da una prova orale vertente sul programma e/o un seminario di approfondimento su una parte del programma. E' tuttavia possibile registrare direttamente quale voto d'esame l'inf tra la votazione riportata nella prova scritta e 26/30.


Modulo: Modulo avanzato
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L'esame finale consiste nello svolgimento di un seminario su un particolare argomento affrontato nel modulo, da concordarsi con il docente, possibilmente integrato da una prova orale vertente sul programma svolto durante il corso

Statistiche per i requisiti di trasparenza (Attuazione Art. 2 del D.M. 31/10/2007, n. 544)

Statistiche esiti
Esiti Esami Esiti Percentuali Media voti Deviazione Standard
Positivi 37.03% 24 3
Respinti --
Assenti --
Ritirati --
Annullati 62.96%
Distribuzione degli esiti positivi
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 30 e Lode
5.0% 5.0% 5.0% 5.0% 10.0% 10.0% 30.0% 0.0% 5.0% 5.0% 10.0% 0.0% 10.0% 0.0%

Valori relativi all'AA 2006/2007 calcolati su un totale di 54 iscritti. I valori in percentuale sono arrotondati al numero intero più vicino.