Mathematical analysis 1 (2005/2006)

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Teaching is organised as follows:
Unit Credits Academic sector Period Academic staff
Modulo base 6 MAT/05-MATHEMATICAL ANALYSIS 1° Q - 1° Anno Stefano De Marchi
Modulo avanzato 3 MAT/05-MATHEMATICAL ANALYSIS 2° Q (seconda parte) Giandomenico Orlandi

Learning outcomes

Modulo: Modulo avanzato
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Nel corso verranno approfonditi alcuni concetti fondamentali per le applicazioni del sistema dei numeri reali, quali la completezza e la compattezza, e verranno studiati i primi esempi significativi di equazioni differenziali ordinarie.


Modulo: Modulo base
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Nel corso vengono introdotti i concetti e le tecniche del calcolo differenziale ed integrale, enfatizzandone gli aspetti metodologico-applicativi rispetto agli elementi logico-formali, con l'obiettivo di fornire gli strumenti di base per affrontare le problematiche scientifiche formalizzabili nel linguaggio della matematica del continuo.

Syllabus

Modulo: Modulo avanzato
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Successioni di Cauchy di numeri reali. Completezza dei numeri reali. Compattezza per successioni.
Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili. Equazioni lineari. Studio qualitativo dell'andamento delle curve integrali.


Modulo: Modulo base
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Il corso prevede 48 ore di lezione frontale comprensive di esercitazioni (pari a 6 CFU). Il corso è rivolto agli studenti della laurea triennale in Matematica Applicata e di Informatica Mutimediale. Si informa che per gli studenti di Matematica Applicata
saranno previste ulteriori ore per esercitazioni supplementari, le cui modalità di svolgimento verranno comunicate all'inizio del corso.


(i) Prerequisiti. Elementi di geometria analitica (equazioni di retta, parabola, circonferenza, ellisse, iperbole). Disequazioni di 2° grado. Regola di Ruffini. Binomio di Newton. Funzioni trigonometriche, esponenziale, logaritmo. Numeri naturali, principio di induzione. Numeri interi, razionali. Il sistema dei numeri reali: assioma di Dedekind, principio di Archimede, estremo superiore ed inferiore. Valore assoluto, disuguaglianza triangolare.

(ii) Successioni e serie numeriche. Limite di una successione. Convergenza delle successioni monotone e limitate. Successioni definite per ricorrenza. Il numero e . Teorema della permanenza del segno, teorema dei due Carabinieri. Operazioni con i limiti, forme indeterminate. La funzione esponenziale, logaritmo. Funzioni trigonometriche, coordinate polari, formule di Eulero. Serie numeriche. Convergenza della serie geometrica. Criteri di convergenza per serie a termini positivi: condizioni necessarie, criterio del confronto, del confronto asintotico, di condensazione, del rapporto, della radice. Criterio di convergenza assoluta. Criterio di convergenza di Leibnitz. Convergenza delle serie di potenze.

(iii) Continuità delle funzioni di una variabile. Sottoinsiemi di R: intervalli aperti, chiusi. Punti di accumulazione. Limite di funzioni reali. Limiti notevoli. Nozione di o ("o" piccolo). Funzioni continue. Funzioni continue su un intervallo: teorema degli zeri, teorema di Bolzano-Weierstrass. Conseguenze del teorema degli zeri: teorema dei valori intermedi (l'immagine continua di un intervallo è un intervallo), le funzioni continue invertibili sono monotone, continuità della funzione inversa.

(iv) Calcolo differenziale per funzioni di una variabile. Derivata di una funzione in un punto, significato geometrico, fisico. Continuità di una funzione derivabile. Derivate successive. Derivate delle funzioni elementari. Principali regole di derivazione. Tassi di crescita relativi e problemi applicati. Principio di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange (del valor medio) e prime conseguenze. Problemi applicati di massimo e minimo. Regola di de l'Hôpital e applicazioni. Formula di Taylor, resto in forma di Peano e di Lagrange. Sviluppo di Taylor delle funzioni elementari, applicazioni al calcolo dei limiti e allo studio qualitativo del grafico di una funzione. Serie di Taylor, funzioni analitiche. Teorema di derivazione (e integrazione) termine a termine per serie di potenze.

(v) Calcolo integrale per funzioni di una variabile. Il problema inverso della derivazione, integrale indefinito. Il problema delle aree, integrale definito: definizione e proprietà dell'integrale di Riemann. Integrabilità delle funzioni continue. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione: per sostituzione, per parti. Integrazione delle funzioni elementari. Applicazioni al calcolo di lunghezze, aree, volumi. Convergenza degli integrali impropri: criterio del confronto, criterio di integrabilità assoluta. Criterio integrale di convergenza per una serie numerica a termini positivi.

Assessment methods and criteria

L'esame finale consiste in una prova scritta comprendente una serie di esercizi da risolvere, seguita, in caso di esito positivo, da una prova orale vertente sul programma svolto.

Reference books
Author Title Publisher Year ISBN Note
James Stewart Calcolo: funzioni di una variabile (Edizione 1) Apogeo 2001 887303747X
Conti F. et al. Analisi Matematica, teoria e applicazioni McGraw-Hill, Milano 2001 8838660026

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