Analisi matematica (2001/2002)

Corso a esaurimento

Codice insegnamento
4S00006
Docente
Giandomenico Orlandi
crediti
8
Settore disciplinare
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA
Lingua di erogazione
Italiano
Periodo
dal 7-gen-2002 al 8-mar-2002.

Orario lezioni

Giorno Ora Tipo Luogo Note
lunedì 11.00 - 13.00 lezione Aula Gino Tessari  
martedì 11.00 - 13.00 lezione Aula Gino Tessari  
mercoledì 9.00 - 11.00 lezione Aula Gino Tessari  
giovedì 9.00 - 11.00 lezione Aula Gino Tessari  

Obiettivi formativi

Nel corso vengono introdotti i concetti classici e le tecniche di base del calcolo differenziale ed integrale, enfatizzandone gli aspetti metodologico-applicativi rispetto agli irrinunciabili elementi logico-formali, con l'obiettivo di fornire allo studente i primi indispensabili strumenti atti a familiarizzare con quelle problematiche dell'universo scientifico formalizzabili nel linguaggio della matematica del continuo.

Programma

* Prerequisiti. Elementi di geometria analitica (equazioni di retta, parabola, circonferenza, ellisse, iperbole). Disequazioni di 2° grado. Regola di Ruffini. Binomio di Newton. Numeri naturali, principio di induzione. Numeri interi, razionali. Il sistema dei numeri reali: assioma di Dedekind, principio di Archimede, estremo superiore ed inferiore. Valore assoluto, disuguaglianza triangolare.
* Successioni e serie numeriche. Limite di una successione. Convergenza delle successioni monotone e limitate. Criterio di convergenza di Cauchy. Successioni definite per ricorrenza. Il numero e . Teorema della permanenza del segno, teorema dei due Carabinieri. Operazioni con i limiti, forme indeterminate. La funzione esponenziale, logaritmo. Funzioni trigonometriche, coordinate polari, formule di Eulero. Serie numeriche. Convergenza della serie geometrica. Criteri di convergenza per serie a termini positivi: condizioni necessarie, criterio del confronto, del confronto asintotico, di condensazione, del rapporto, della radice. Criterio di convergenza assoluta. Riordinamento di una serie. Criterio di convergenza di Leibnitz. Convergenza delle serie di potenze.
* Continuità delle funzioni di una variabile. Sottoinsiemi di R: intervalli aperti, chiusi. Punti di accumulazione. Limite di funzioni reali. Limiti notevoli. Nozione di o ("o" piccolo). Funzioni continue. Funzioni continue su un intervallo: teorema degli zeri, teorema di Bolzano-Weierstrass. Conseguenze del teorema degli zeri: teorema dei valori intermedi (l'immagine continua di un intervallo è un intervallo), le funzioni continue invertibili sono monotone, continuità della funzione inversa.
* Calcolo differenziale per funzioni di una variabile. Derivata di una funzione in un punto, significato geometrico, fisico. Continuità di una funzione derivabile. Derivate successive. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione: derivata della somma, del prodotto, della composizione, della funzione inversa. Tassi di crescita relativi e problemi applicati. Principio di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange (del valor medio) e prime conseguenze. Metodo di Newton o delle tangenti per la determinazione degli zeri di una funzione derivabile, stime di convergenza. Problemi applicati di massimo e minimo. Teorema di Cauchy del valor medio generalizzato. Regola di de l'Hôpital e applicazioni. Formula di Taylor, resto in forma di Peano e di Lagrange. Sviluppo di Taylor delle funzioni elementari, applicazioni al calcolo dei limiti e allo studio qualitativo del grafico di una funzione. Serie di Taylor, funzioni analitiche. Teorema di derivazione (e integrazione) termine a termine per serie di potenze.
* Calcolo integrale per funzioni di una variabile. Il problema inverso della derivazione, integrale indefinito. Il problema delle aree, integrale definito: definizione e proprietà dell'integrale di Riemann. Integrabilità delle funzioni continue. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione: per sostituzione, per parti. Integrazione delle funzioni elementari. Applicazioni al calcolo di lunghezze, aree, volumi. Convergenza degli integrali impropri: criterio del confronto, criterio di integrabilità assoluta. Criterio integrale di convergenza per una serie numerica a termini positivi.
* Calcolo differenziale per funzioni di più variabili. Elementi di topologia di R^n. Continuità e teorema di Weierstrass per funzioni di più variabili reali. Funzioni differenziabili. Continuità delle funzioni differenziabili. Derivate direzionali e parziali, rappresentazione del differenziale attraverso il gradiente. Teorema del differenziale totale. Ortogonalità del gradiente rispetto agli insiemi di livello, direzione di massima pendenza. Matrice Jacobiana. Funzioni a valori vettoriali, curve e superfici. Vettori tangenti ad una superficie parametrica in R^3 , vettore normale. Coordinate sferiche e cilindriche in R^3 . Derivate successive, teorema di Schwartz. Matrice Hessiana. Formula di Taylor, applicazione allo studio dei punti critici di una funzione regolare. Teorema delle funzioni implicite ed inverse. Derivate di funzioni implicite. Massimi e minimi vincolati, teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
* Complementi. Equazioni differenziali a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.

Testi di riferimento
Autore Titolo Casa editrice Anno ISBN Note
Conti F. et al. Analisi Matematica, teoria e applicazioni McGraw-Hill, Milano 2001 8838660026
G. F. Simmons, M. Abate Calcolo differenziale e integrale (Edizione 1) Mc Graw-Hill 2001 8838608555

Modalità d'esame

Prova scritta

Materiale didattico

Documenti

Statistiche per i requisiti di trasparenza (Attuazione Art. 2 del D.M. 31/10/2007, n. 544)

Statistiche esiti
Esiti Esami Esiti Percentuali Media voti Deviazione Standard
Positivi 16.03% 21 2
Respinti 12.26%
Assenti 33.96%
Ritirati 0.94%
Annullati 36.79%
Distribuzione degli esiti positivi
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 30 e Lode
23.5% 23.5% 11.7% 11.7% 11.7% 5.8% 0.0% 5.8% 0.0% 5.8% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0%

Valori relativi all'AA 2001/2002 calcolati su un totale di 106 iscritti. I valori in percentuale sono arrotondati al numero intero più vicino.