Il finanziamento del progetto è gestito dall'Unita' Locale dell'Università degli Studi di Trento e fa capo al Prof. Raul Serapioni. Il Responsabile Nazionale e' il Prof. Luigi Ambrosio (Scuola Normale Superiore di Pisa) Il problema centrale del Calcolo delle Variazioni consiste nel determinare se un problema di minimo abbia soluzioni, e nello sviluppare tecniche che consentono di caratterizzare o calcolare le soluzioni stesse. Spesso questo problematica si intreccia profondamente con lo studio della regolarita' delle soluzioni minimizzanti o delle funzioni ammissibili, e sovente la scelta dello spazio funzionale piu' appropriato, sulla base di considerazioni fisiche o modellistiche, risulta fondamentale. A partire dai classici lavori di Tonelli e De Giorgi sugli integrali multipli regolari, il Calcolo delle Variazioni per funzionali integrali e' sempre stato particolarmente avanzato in Italia. Molto importante e' anche stato lo studio di problemi geometrici del tipo delle superfici minime, che hanno portato allo sviluppo di fondamentali capitoli della teoria geometrica della misura. In entrambi questi settori e' ormai acquisito il fatto che le soluzioni possono avere in alcuni casi delle singolarita', e in certi problemi aventi un'interpretazione geometrica o fisica rilevante sono proprio tali singolarita' il principale oggetto di indagine. Per queste ragioni molti attuali filoni di ricerca sono riconducibili allo studio delle singolarita' e delle concentrazioni di energia su insiemi di dimensione bassa (ad esempio ipersuperfici). L'obiettivo principale del gruppo e' lo studio di tali problemi, al fine di ottenere nuovi risultati originali e di formare dei nuovi ricercatori. In particolare si studieranno i problemi con discontinuita' libere, caratterizzati dalla minimizzazione della somma di un'energia di volume e un'energia di superficie. Tali funzionali compaiono ad esempio nell'approccio variazionale al problema della segmentazione di immagini proposto da Mumford-Shah e Blake-Zisserman e nella teoria della frattura fragile di Griffith. In questo contesto, particolare attenzione verra' dedicata ai problemi vettoriali, al problema dell'evoluzione quasi-statica e alla relazione tra modelli discreti e continui, lineari e non-lineari, 3-dimensionali e 2-dimensionali. Queste relazioni verranno analizzate rigorosamente con una tecnica di convergenza variazionale, la Gamma-convergenza. Problemi vettoriali con vincoli geometrici presentano anche fenomeni di concentrazione e di singolarita' che saranno oggetto di ricerche da parte del gruppo. Anche lo studio dei teoremi di rinormalizzazione per le soluzioni delle equazioni di continuita' e di trasporto e l'analisi fine delle misure di entropia per soluzioni di leggi di conservazione possono essere fatti rientrare in questo quadro unificante. Nello studio di questi e altri problemi hanno particolare rilevanza tecniche di teoria geometrica della misura: il gruppo intende anche perseguire alcune ricerche volte all'estensione della teoria ad ambienti metrici e, a priori, privi di una struttura differenziale. Il gruppo dedichera', in linea con le sue tradizioni, molta attenzione alla formazione scientifica dei giovani ricercatori (questo e' anche testimoniato dall'alto numero di dottorandi e borsisti/assegnisti coinvolto nel progetto), con particolare riferimento all'avviamento alla ricerca. Va infine sottolineato che la collaborazione scientifica tra le diverse unita' locali e' sempre stata molto stretta, come evidenziato dai numerosi lavori in collaborazione. Inoltre molti membri del gruppo sono stati nel recente passato autori di monografie pubblicate da editori internazionali. Compito dell'Unità Locale di Trento - Geometria subriemanniana e teoria geometrica della misura - Approssimazione variazionale, minimizzazione e studio asintotico di funzionali energia del tipo Ginzburg-Landau - G-convergenza e approssimazione di funzionali
