Il finanziamento del progetto è gestito dall'unità locale afferente al Dip. di Matematica dell'Università di Padova.
Le tematiche principali del progetto sono:
1) Studio dell'evoluzione di fronti con tecniche PDE e di
viscosita'.
Numerosi modelli di fisica, biologia e scienza dei materiali
coinvolgono fenomeni di propagazione di fronti in mezzi
eterogenei. In tale ambito ci occuperemo dei seguenti
problemi.
- Approssimazione dell'evoluzione di tipo level set per
curvatura media tramite lo schema proposto da Bence,
Merriman e Osher, correlato dal punto di vista teorico con
l'equazione di Allen-Cahn. Caratterizzazione geometrica (ad
esempio in termini di perimetro minimo) del fronte
selezionato dallo schema in presenza di fenomeni di
fattening.
- Nell'ambito del moto per curvatura media in mezzi
periodici in presenza di un termine forzante, studio
dell'esistenza e della regolarità della legge di evoluzione
limite quando il periodo tende a zero.
- Definizione della nozione di fronte per equazioni di
reazione-diffusione di tipo KPP con eterogeneità
quasi-periodica nello spazio e nel tempo. Applicazione allo
studio della velocità asintotica di propagazione di
soluzioni con dato iniziale a supporto compatto.
2) Omogeneizzazione e stime di convergenza per equazioni di
Hamilton-Jacobi-Bellman.
Il problema dell'omogeneizzazione per equazioni con
Hamiltoniane periodiche del primo e del secondo ordine è
stato affrontato con successo con tecniche di viscosità
dando impulso a nuovi campi di indagine.
- Studio dell'omogeneizzazione di Hamiltoniane quasi
periodiche e dipendenti dalla funzione incognita, motivato
da un modello di dinamica delle dislocazioni nei cristalli.
Stime sulla velocità di convergenza delle soluzioni e
derivazione di schemi numerici per l'approssimazione
dell'Hamiltoniana effettiva e della soluzione limite.
- Studio di alcune proprietà qualitative delle equazioni
critiche associate a operatori ellittici, con particolare
riferimento alla dipendenza continua della soluzione (a meno
di costanti additive). Questa proprietà dovrebbe poi
permettere di conseguire un miglioramento della stima di
convergenza per l'omogeneizzazione.
3) Tecniche metriche per equazioni di Hamilton-Jacobi.
Nell'omogeneizzazione di equazioni H-J l'analisi
qualitativa del problema di cella fornisce accurate
informazioni sul problema effettivo. Si intende estendere i
risultati noti per Hamiltoniane convesse a quelle non
convesse e a sistemi di equazioni.
- Studio dell’equazione critica associata ad Hamiltoniane
non convesse. Mediante tecniche metriche e formule di
rappresentazione della soluzione, si vuole ottenere
un'espressione asintotica per l'Hamiltoniana effettiva, da
utilizzare a sua volta per estendere i risultati di
omogeneizzazione ad Hamiltoniane stazionarie ergodiche non
convesse.
- Analisi di sistemi di equazioni critiche. Zavidovique ha
mostrato, sotto opportune ipotesi di regolarità e
commutatività delle Hamiltoniane, che tali equazioni hanno
stesse soluzioni e stessi insiemi di Aubry. Si vorrebbero
indebolire le ipotesi di regolarità di tale risultato
utilizzando opportune tecniche dinamiche generalizzate.
