Il finanziamento del progetto è gestito dall'Unita' Locale dell'Università degli Studi di Trento e fa capo al Prof. Francesco Serra Cassano. Il Responsabile Nazionale e' il Prof. Luigi Ambrosio (Scuola Normale Superiore di Pisa) Con riferimento ai temi principali di ricerca elencati nell'abstract, descriviamo piu' in dettaglio gli obiettivi. Per i riferimenti bibliografici qui menzionati, si veda il punto successivo e i singoli modelli B per maggiori dettagli. 1. TEORIA DEL TRASPORTO OTTIMO DI MASSA 1.1. Modelli di trasporto ramificato e di congestione. Nel caso classico di Monge il costo per spostarsi da un punto a un altro è supposto proporzionale alla distanza. In tal caso i raggi di trasporto non si intersecano tra loro. Modificando il funzionale costo ([11], [12], [13], [15], [17]) si possono avere modelli in cui i vari individui hanno interesse a percorrere una parte delle rispettive traiettorie assieme, in altri termini i raggi di trasporto tendono a concentrarsi, producendo fenomeni di ramificazione, o al contrario i vari individui percorrono traiettorie sparse tra loro, come nei fenomeni di congestione. Nel primo caso ne segue che le configurazioni ottime effettuano trasporti congiunti con ramificazioni che si formano in prossimità delle differenti destinazioni. Questo tipo di comportamento è presente, oltre che in reti di trasporto e di comunicazione di persone, merci e dati, anche in natura, ad esempio nella forma di alberi, sistema sanguigno, bacini fluviali. 1.2. Formulazione dinamica di problemi di trasporto ottimo con fenomeni di concentrazione e congestione. Dal punto di vista teorico si tratta di trovare la giusta formulazione per questi tipi di trasporto non standard: funzionali definiti sulle curve di misure di probabilità, spazi di Wasserstein, formulazione dinamica dei problemi di trasporto ottimo. Dal punto di vista più applicativo diversi problemi di ottimizzazione possono essere formulati e studiati partendo dai modelli suddetti: progettazione di reti di trasporto efficienti, minimizzazione degli effetti di congestione nel trasporto su una rete, movimento di una folla con vincoli spaziali. 1.3. Distanze di Wasserstein generalizzate e funzioni di mobilita' non lineari. E' ormai assodato che la rappresentazione Euleriana della distanza di Wasserstein fornisce uno strumento molto piu' flessibile, per la dimostrazione di proprieta' contrattive, di quella Lagrangiana [19], [45]. Questo punto di vista ha consentito l'introduzione in [20] di una nuova classe di distanze del tipo di Wasserstein, caratterizzate da funzioni di mobilita' non lineari. Ulteriori ricerche in [21] introducono e caratterizzano la convessita' rispetto a questa nuova classe di geodetiche. 1.4. Trasporto ottimale per misure con segno e misure a valori in gruppi. Ci si propone di estendere la descrizione differenziale dello spazio delle misure al caso delle misure con segno, e potenzialmente anche a classi piu' generali di misure. Questa estensione consentirebbe di rimuovere l'ipotesi sul segno dei vortici nella teoria di campo medio considerata in [22]. 2. DISUGUAGLIANZE FUNZIONALI La dimostrazione di McCann della disuguaglianza di Brunn-Minkowski e [23] hanno mostrato l'esistenza di uno stretto legame tra trasporto ottimale e disuguaglianze funzionali, poi sfruttato a fondo nel lavoro [26], che migliora e estende i risultati di [28]. Nel lavoro [25] e' stata ottenuta una versione quantitativa della disuguaglianza di Sobolev, ma con un esponente non ottimale. Ci si propone, migliorando le tecniche di [26], di ottenere la disuguaglianza ottimale. Altri problemi collegati sono disuguaglianze quantitative per il primo autovalore del laplaciano [29] e l'analisi degli insiemi che, a parita' di volume, minimizzano la costante di Sobolev-Poincare'. 3. PROBLEMI DI EVOLUZIONE 3.1. Equazioni di diffusione del IV ordine e trasporto ottimo di massa. Ci si propone di estendere i risultati di [36] e [37] al caso delle strutture metriche descritte in 1.3, ampliando cosi' l'ambito delle possibili applicazioni. 3.2. Flusso gradiente di Entropie generalizzate e applicazioni a equazioni del tipo di Fokker-Plank. I fondamentali lavori [38], [44] hanno mostrato che equazioni anche classiche possono essere interpretate come flussi gradiente rispetto alla distanza di Wasserstein, con importanti applicazioni allo studio del comportamento asintotico delle soluzioni. La monografia [39] (vedi anche [40]) ha trattato in maniera esauriente il caso di flussi gradiente di funzionali geodeticamente convessi in spazi di Wasserstein. In spazi di dimensione infinita questa teoria e' stata applicata in [42], ma molto resta da fare per includere le distanze di Wasserstein considerate in [46]. Ci si propone di usare la teoria dei flussi gradiente convessi e le nuove strutture metriche [20], [21] per studiare equazioni paraboliche del tipo dei thin film. 3.3. Flusso gradiente dell'Entropia in spazi metrici di misura con curvatura di Ricci limitata dal basso. In questo ambito i lavori fondamentali sono [47] e [48]. Ci si propone di analizzare a fondo le proprieta' di stabilita' del semigruppo generato dal flusso gradiente. 3.4. Buona positura per equazioni di continuita' e trasporto con dati poco regolari. I lavori fondamentali sono [49], [50]. Piu' recenti contributi sono [51], [52]. Ci si propone di migliorare i risultati esistenti, con riferimento alle ipotesi sulla divergenza del campo, e di applicarli a un sistema di leggi di conservazione della cromatografia. 4. TEORIA GEOMETRICA DELLA MISURA 4.1. Rettificabilita' degli insiemi di perimetro finito e superfici minime in gruppi di Carnot. La teoria della rettificabilita' nei gruppi e' stata studiata in [64], [65], [66] e ormai si puo' dire completa in gruppi di passo 2. In gruppi generali l'esistenza di un iperpiano tangente e' stata mostrata in [71], ma l'unicita' del tangente resta un problema aperto. Accanto a questo, resta aperto il problema di caratterizzare gli insiemi isoperimetrici, la cui esistenza e' garantita da [68]. Nel caso del gruppo H_1, P.Pansu ha congetturato la forma isoperimetrica, ma una dimostrazione completa della sua congettura al momento manca. 4.2. Teoria delle correnti in gruppi di Heisenberg In questo ambito il risultato fondamentale e' stato [72]. Assodata in maniera definitiva la giusta nozione di k-corrente in questi spazi, si pone il problema di stabilire la validita' di disuguaglianze isoperimetriche e di teoremi di chiusura e compattezza analoghi a quelli noti in ambito ``Euclideo''. 4.3. Regolarita' delle geodetiche subRiemanniane. La regolarita' delle curve di lunghezza minima e' un problema difficile e stimolante, nonostante il suo carattere unidimensionale, [74], [75]. Ci si propone di migliorare i risultati ottenuti in [73], escludendo l'esistenza di singolarita' non necessariamente di tipo cuspide. 4.4. Teoria geometrica della misura in spazi di dimensione infinita e in particolare in spazi di Wiener. Esiste una consolidata letteratura sugli spazi di Sobolev associati a funzioni definite su spazi di Wiener [76], ma molto meno e' noto nel caso di funzioni BV a variazione limitata. La definizione di tali spazi e' stata data in [77], e recentemente una completa caratterizzazione e' stata data in [78]. Ma la rappresentazione della misura perimetro come misura di Hausdorff di codimensione 1 e le proprieta' di blow-up degli insiemi di perimetro finito restano un problema aperto. 4.5. Teoria delle correnti con coefficienti in Z_p e disuguaglianze isoperimetriche e di filling radius. La teoria e' stata sviluppata in spazi Euclidei e persino per coefficienti a valori in un gruppo G in [59], [79], [80], [81]. Ci si propone, in collaborazione con M.Katz e S.Wenger, un'estensione della teoria metrica [62] a correnti con coefficienti in Z_p. L'estensione e' motivata da questioni di geometria sistolica, in particolare dall'esigenza di dare una dimostrazione trasparente, che si applichi anche alle varieta' non orientate, delle disuguaglianze di filling radius. Un altra recente applicazione della teoria [62], e in particolare dei teoremi di compattezza rispetto alla convergenza di Gromov-Hausdorff, e' in [82].
