OBIETTIVI FORMATIVI
Nel corso vengono introdotti i concetti e le tecniche del
calcolo differenziale ed integrale, enfatizzandone gli aspetti metodologico-applicativi
rispetto agli elementi logico-formali, con l'obiettivo di fornire gli strumenti
di base per affrontare le problematiche scientifiche formalizzabili
nel linguaggio della matematica del continuo:
ATTIVITÀ FORMATIVE
Il corso prevede 48 ore di lezione frontale comprensive di esercitazioni.
PROGRAMMA DEL CORSO
-
È disponibile il
diario del corso aggiornato (in formato .pdf). Vale anche da
programma d'esame.
- Prerequisiti. Elementi di geometria analitica
(equazioni di retta, parabola, circonferenza, ellisse, iperbole).
Disequazioni di 2° grado. Regola di Ruffini. Binomio di Newton.
Funzioni trigonometriche, esponenziale, logaritmo.
Numeri naturali, principio di induzione. Numeri interi, razionali.
Il sistema dei numeri reali: assioma di Dedekind, principio di
Archimede, estremo superiore ed inferiore. Valore assoluto,
disuguaglianza triangolare.
- Successioni e serie numeriche.
Limite di una successione. Convergenza delle
successioni monotone e limitate. Successioni definite per ricorrenza.
Il numero e .
Teorema della permanenza del segno, teorema dei due
Carabinieri. Operazioni con i limiti, forme indeterminate.
La funzione esponenziale, logaritmo. Funzioni trigonometriche, coordinate
polari, formule di Eulero.
Serie numeriche. Convergenza della serie geometrica.
Criteri di convergenza per serie a termini positivi: condizioni necessarie, criterio del
confronto, del confronto asintotico, di condensazione, del
rapporto, della radice. Criterio di
convergenza assoluta. Criterio
di convergenza di Leibnitz. Convergenza delle serie di potenze.
- Continuità delle funzioni di una variabile.
Sottoinsiemi di R: intervalli aperti, chiusi. Punti di
accumulazione.
Limite di funzioni reali.
Limiti notevoli. Nozione di
o ("o" piccolo).
Funzioni
continue. Funzioni continue su un intervallo: teorema degli
zeri, teorema di Bolzano-Weierstrass.
Conseguenze del teorema degli zeri: teorema dei valori intermedi
(l'immagine continua di un intervallo è un intervallo), le
funzioni continue invertibili sono monotone, continuità della
funzione inversa.
- Calcolo differenziale per funzioni di una variabile.
Derivata di una funzione in un punto, significato geometrico,
fisico. Continuità di una
funzione derivabile. Derivate successive. Derivate delle funzioni
elementari. Principali regole di derivazione. Tassi di
crescita relativi e problemi applicati.
Principio di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange
(del valor medio) e prime conseguenze. Problemi applicati di massimo e
minimo.
Regola di de
l'Hôpital e applicazioni.
Formula di Taylor, resto in forma di Peano e di Lagrange.
Sviluppo di Taylor delle funzioni elementari, applicazioni al
calcolo dei limiti e allo studio qualitativo del grafico di una
funzione. Serie di Taylor, funzioni analitiche. Teorema di
derivazione (e integrazione) termine a termine per serie di
potenze.
- Calcolo integrale per funzioni di una variabile.
Il problema inverso della derivazione, integrale indefinito. Il
problema delle aree, integrale definito: definizione e
proprietà dell'integrale di Riemann. Integrabilità
delle funzioni continue. Teorema della media integrale.
Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Metodi di integrazione: per sostituzione, per parti. Integrazione
delle funzioni elementari. Applicazioni al calcolo di lunghezze,
aree, volumi.
Convergenza degli integrali impropri: criterio del confronto,
criterio di integrabilità assoluta. Criterio integrale di
convergenza per una serie numerica a termini positivi.