Obiettivi formativi
In questa parte del corso si inizia l'esame di alcuni problemi - ed i
relativi algoritmi di risoluzione - più frequenti in campo numerico.
Al di là dell'indispensabile bagaglio teorico, particolare enfasi
è data all'aspetto algoritmico e più puramente numerico - sia
dal punto di vista dell'implementazione e della complessità di
calcolo che da quello della stabilità - con l'obiettivo di fornire
allo studente, oltre alla necessaria conoscenza dei problemi, quella dose di
sensibilità per il "numero" e di spirito critico che sempre
dovrebbe essere presente sia in chi progetta che in chi utilizza
applicazioni in questo campo.
Attività formative
Il corso viene svolto in 34 ore di lezione/esercitazione frontale e 15 ore
di laboratorio numerico (codice MATLAB), nella prima parte del 1°
periodo (1/10-31/10).
Nelle lezioni/esercitazioni in aula i vari argomenti vengono presentati
nel loro aspetto teorico e con l'aiuto di esemplificazioni facilmente
risolubili manualmente.
L'attività di laboratorio prevede l'apprendimento delle
operazioni fondamentali presenti nel codice di calcolo ed inerenti agli
argomenti trattati, l'utilizzo di librerie fornite dal docente e
l'implementazione di alcuni algoritmi presentati durante le lezioni.
Programma del corso
-
Analisi degli errori. Errore assoluto ed errore relativo.
Rappresentazione dei numeri. Numeri di macchina ed errori connessi. Le
operazioni elementari. Algoritmi per il calcolo di una espressione. Errori
di propagazione: analisi del primo ordine ed analisi differenziale,
condizionamento e stabilità.
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Equazioni non lineari. Separazione degli zeri. I metodi di
iterazione funzionale. Convergenza e criteri di arresto. Metodi
particolari: bisezione, secanti e tangenti. Le equazioni algebriche:
schema di Horner, limitazione delle radici, proprietà del metodo
delle tangenti. Il trucco di Maehly.
-
Sistemi di equazioni. Generalità. Metodi diretti: sostituzione in
avanti ed all'indietro, fattorizzazione LU, fattorizzazione QR, eliminazione
di Gauss senza e con pivoting. Metodi iterativi: costruzione e convergenza,
criteri di arresto, metodo di Jacobi, metodo di Gauss-Seidel, condizioni
sufficienti di convergenza per i metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel.
Sistemi sparsi, a banda, sovra- e sotto-determinati ed omogenei.