Obiettivi formativi
Nel corso vengono esaminati i problemi - ed i relativi algoritmi di
risoluzione - più frequenti in campo numerico. Al di là
dell'indispensabile bagaglio teorico, particolare enfasi è data
all'aspetto algoritmico e più puramente numerico - sia dal punto di
vista dell'implementazione e della complessità di calcolo che da
quello della stabilità - con l'obiettivo di fornire allo studente,
oltre alla necessaria conoscenza dei problemi, quella dose di
sensibilità per il "numero" e di spirito critico che sempre
dovrebbe essere presente sia in chi progetta che in chi utilizza
applicazioni in questo campo.
Attività formative
Il corso viene svolto in 54 ore di lezione/esercitazione frontale e 27 ore
di laboratorio numerico (codice MATLAB), nel 1° periodo (1/10-30/11).
Nelle lezioni/esercitazioni in aula i vari argomenti vengono presentati
nel loro aspetto teorico e con l'aiuto di esemplificazioni facilmente
risolubili manualmente.
L'attività di laboratorio prevede l'apprendimento delle
operazioni fondamentali presenti nel codice di calcolo ed inerenti agli
argomenti trattati, l'utilizzo di librerie fornite dal docente e
l'implementazione di alcuni algoritmi presentati durante le lezioni.
Programma del corso
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Analisi degli errori. Errore assoluto ed errore relativo.
Rappresentazione dei numeri. Numeri di macchina ed errori connessi. Le
operazioni elementari. Algoritmi per il calcolo di una espressione. Errori
di propagazione: analisi del primo ordine ed analisi differenziale,
condizionamento e stabilità.
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Equazioni non lineari. Separazione degli zeri. I metodi di
iterazione funzionale. Convergenza e criteri di arresto. Metodi
particolari: bisezione, secanti e tangenti. Le equazioni algebriche:
schema di Horner, limitazione delle radici, proprietà del metodo
delle tangenti.
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Sistemi di equazioni. Generalità. Metodi diretti: sostituzione
in avanti ed all'indietro, fattorizzazione LU, fattorizzazione QR,
eliminazione di Gauss senza e con pivoting. Sistemi sparsi, a banda,
sovra- e sotto-determinati ed omogenei.
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Autovalori ed autovettori. Richiami sulle proprietà
fondamentali. Trasformazioni per similitudine: metodo di Householder e
metodo di Gauss. Localizzazione degli autovalori: teorema di Hirsch e di
Gershgorin. Metodi di calcolo degli autovalori: uso del polinomio
caratteristico per matrici tridiagonali e di Hessenberg, metodo di Jacobi,
metodo delle potenze e delle potenze inverse, metodo QR senza traslazione,
con traslazione singola e con passo doppio di Francis. Cenni sulle matrici
"companion" e radici complesse di un polinomio.
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Interpolazione di dati ed approssimazione di funzioni.
Interpolazione polinomiale: interpolazione di Lagrange, algoritmo di
Neville, polinomio di Newton. Stima dell'errore di approssimazione.
Interpolazione polinomiale a tratti. Funzioni spline. Cenni
sull'interpolazione trigonometrica. Il metodo dei minimi quadrati.
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Derivazione ed integrazione numerica. Derivazione numerica ed errori
connessi. Integrazione numerica: costruzione di una formula di quadratura,
formule di quadratura di Newton-Cotes ed errori connessi, formule di
quadratura di tipo gaussiano ed errori connessi, formule composite.