Corso di Calcolo Numerico (Vecchio ordinamento, Parte II)

Obiettivi formativi

In questa parte del corso si completa l'esame di alcuni problemi - ed i relativi algoritmi di risoluzione - più frequenti in campo numerico. Al di là dell'indispensabile bagaglio teorico, particolare enfasi è data all'aspetto algoritmico e più puramente numerico - sia dal punto di vista dell'implementazione e della complessità di calcolo che da quello della stabilità - con l'obiettivo di fornire allo studente, oltre alla necessaria conoscenza dei problemi, quella dose di sensibilità per il "numero" e di spirito critico che sempre dovrebbe essere presente sia in chi progetta che in chi utilizza applicazioni in questo campo.

Attività formative

Il corso viene svolto in 32 ore di lezione/esercitazione frontale e 12 ore di laboratorio numerico (codice MATLAB), nel secondo periodo di lezione. Nelle lezioni/esercitazioni in aula i vari argomenti vengono presentati nel loro aspetto teorico e con l'aiuto di esemplificazioni facilmente risolubili a mano. L'attività di laboratorio prevede l'apprendimento delle operazioni fondamentali presenti nel codice di calcolo ed inerenti agli argomenti trattati, l'utilizzo di librerie fornite dal docente e l'implementazione di alcuni algoritmi presentati durante le lezioni.

Programma del corso

Autovalori ed autovettori. Richiami sulle proprietà fondamentali. Trasformazioni per similitudine: metodo di Householder e metodo di Gauss. Localizzazione degli autovalori: teorema di Hirsch e di Gershgorin. Metodi di calcolo degli autovalori: uso del polinomio caratteristico per matrici tridiagonali e di Hessenberg, metodo di Jacobi, metodo delle potenze e delle potenze inverse, metodo QR senza traslazione, con traslazione singola e con passo doppio di Francis. Cenni sulle matrici "companion" e radici complesse di un polinomio.
Interpolazione di dati ed approssimazione di funzioni. Interpolazione polinomiale: interpolazione di Lagrange, algoritmo di Neville, polinomio di Newton. Stima dell'errore di approssimazione. Interpolazione polinomiale a tratti. Funzioni spline. Cenni sull'interpolazione trigonometrica. Il metodo dei minimi quadrati.
Derivazione ed integrazione numerica. Derivazione numerica ed errori connessi; risoluzione numerica di semplici equazioni differenziali ordinarie de I e II ordine. Integrazione numerica: costruzione di una formula di quadratura di tipo interpolatorio, formule di quadratura di Newton-Cotes ed errori connessi, formule di Newton-Cotes composite.