Obiettivi formativi

Attività formative

Programma del corso

• Prerequisiti. Si richiede la conoscenza del programma dei corsi di Analisi Matematica 1 ed Algebra Lineare.
• Successioni e serie di funzioni. Convergenza puntuale ed uniforme. Continuità del limite uniforme di successioni di funzioni continue. Passaggio al limite sotto il segno di integrale in ipotesi di convergenza uniforme. Convergenza uniforme delle derivate e derivabilità del limite uniforme. Criterio di Weierstrass o della convergenza totale. Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme di una serie di funzioni. Teoremi di convergenza delle serie di potenze. Raggio di convergenza, sua caratterizzazione. Proprietà delle serie di potenze nell'intervallo di convergenza: continuità, teorema di Abel. Derivabilità e integrabilità termine a termine. Funzioni analitiche, convergenza della serie di Taylor associata. Analiticità delle funzioni elementari.
• Spazi metrici. Funzione distanza. Definizione di spazio metrico. Palle. Distanza indotta da una norma su uno spazio vettoriale. Esempi notevoli di norme su R^n e su C^0([a,b]). Limiti di successioni in spazi metrici. Funzioni continue tra spazi metrici, esempi in R^n e in C^0([a,b]): funzione integrale, trasformata di Laplace, trasformata di Fourier. Successioni di Cauchy, spazi metrici completi. Completezza di R^n e di C^0([a,b]). Il principio delle contrazioni in uno spazio metrico completo.
• Equazioni differenziali. Il problema di Cauchy, problemi ben posti (esistenza, unicità, dipendenza continua dai dati iniziali). Teorema di Cauchy-Lipschitz di esistenza e unicità di soluzioni di problemi di Cauchy come applicazione del principio delle contrazioni. Integrazione di equazioni a variabili separabili. Integrazione dell' equazione di Bernoulli. Metodo della conservazione dell'energia per integrare y''=V'(y). Discussione qualitativa nello spazio delle fasi; soluzioni stazionarie, relazione con i punti critici di $V$. Equazioni differenziali lineari. Lo spazio vettoriale delle soluzioni dell'equazione omogenea, determinazione di una base nel caso a coefficienti costanti. Determinazione di una soluzione particolare dell'equazione non omogenea: metodo degli annichilatori, metodo della variazione dei parametri. Sistemi di n equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Particolari metodi di risoluzione: riducibilità ad un'equazione di ordine n; diagonalizzabilità del sistema omogeneo. Esponenziale di matrici. Discussione qualitativa nel piano delle fasi, stabilità delle soluzioni di equilibrio.
• Integrali multipli, curvilinei, superficiali. Definizione di integrale di una funzione di più variabili definita su di un rettangolo o su un dominio compatto a frontiera regolare. Integrabilità delle funzioni continue, integrazione iterata, formula di cambiamento di variabili. Volume dei solidi di rotazione, teorema di Pappo. Definizione di integrale curvilineo e di superficie e loro significato fisico. Lunghezza di una curva, area di una superficie. Rotore e divergenza di un campo vettoriale. Forme differenziali esatte e chiuse, lemma di Poincaré. Teorema di Stokes per forme, e suoi corollari per campi di vettori: teorema di Gauss-Green nel piano, teorema della divergenza e teorema di Stokes classico.
• Complementi. Generalità sulle trasformate di Laplace e di Fourier.