Obiettivi formativi

Attività formative

Programma del corso

• Prerequisiti. Elementi di geometria analitica (equazioni di retta, parabola, circonferenza, ellisse, iperbole). Disequazioni di 2° grado. Regola di Ruffini. Binomio di Newton. Numeri naturali, principio di induzione. Numeri interi, razionali. Il sistema dei numeri reali: assioma di Dedekind, principio di Archimede, estremo superiore ed inferiore. Valore assoluto, disuguaglianza triangolare.
• Successioni e serie numeriche. Limite di una successione. Convergenza delle successioni monotone e limitate. Criterio di convergenza di Cauchy. Successioni definite per ricorrenza. Il numero e . Teorema della permanenza del segno, teorema dei due Carabinieri. Operazioni con i limiti, forme indeterminate. La funzione esponenziale, logaritmo. Funzioni trigonometriche, coordinate polari, formule di Eulero. Serie numeriche. Convergenza della serie geometrica. Criteri di convergenza per serie a termini positivi: condizioni necessarie, criterio del confronto, del confronto asintotico, di condensazione, del rapporto, della radice. Criterio di convergenza assoluta. Riordinamento di una serie. Criterio di convergenza di Leibnitz. Convergenza delle serie di potenze.
• Continuità delle funzioni di una variabile. Sottoinsiemi di R: intervalli aperti, chiusi. Punti di accumulazione. Limite di funzioni reali. Limiti notevoli. Nozione di o ("o" piccolo). Funzioni continue. Funzioni continue su un intervallo: teorema degli zeri, teorema di Bolzano-Weierstrass. Conseguenze del teorema degli zeri: teorema dei valori intermedi (l'immagine continua di un intervallo è un intervallo), le funzioni continue invertibili sono monotone, continuità della funzione inversa.
• Calcolo differenziale per funzioni di una variabile. Derivata di una funzione in un punto, significato geometrico, fisico. Continuità di una funzione derivabile. Derivate successive. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione: derivata della somma, del prodotto, della composizione, della funzione inversa. Tassi di crescita relativi e problemi applicati. Principio di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange (del valor medio) e prime conseguenze. Metodo di Newton o delle tangenti per la determinazione degli zeri di una funzione derivabile, stime di convergenza. Problemi applicati di massimo e minimo. Teorema di Cauchy del valor medio generalizzato. Regola di de l'Hôpital e applicazioni. Formula di Taylor, resto in forma di Peano e di Lagrange. Sviluppo di Taylor delle funzioni elementari, applicazioni al calcolo dei limiti e allo studio qualitativo del grafico di una funzione. Serie di Taylor, funzioni analitiche. Teorema di derivazione (e integrazione) termine a termine per serie di potenze.
• Calcolo integrale per funzioni di una variabile. Il problema inverso della derivazione, integrale indefinito. Il problema delle aree, integrale definito: definizione e proprietà dell'integrale di Riemann. Integrabilità delle funzioni continue. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione: per sostituzione, per parti. Integrazione delle funzioni elementari. Applicazioni al calcolo di lunghezze, aree, volumi. Convergenza degli integrali impropri: criterio del confronto, criterio di integrabilità assoluta. Criterio integrale di convergenza per una serie numerica a termini positivi.
• Calcolo differenziale per funzioni di più variabili. Elementi di topologia di R^n. Continuità e teorema di Weierstrass per funzioni di più variabili reali. Funzioni differenziabili. Continuità delle funzioni differenziabili. Derivate direzionali e parziali, rappresentazione del differenziale attraverso il gradiente. Teorema del differenziale totale. Ortogonalità del gradiente rispetto agli insiemi di livello, direzione di massima pendenza. Matrice Jacobiana. Funzioni a valori vettoriali, curve e superfici. Vettori tangenti ad una superficie parametrica in R^3 , vettore normale. Coordinate sferiche e cilindriche in R^3 . Derivate successive, teorema di Schwartz. Matrice Hessiana. Formula di Taylor, applicazione allo studio dei punti critici di una funzione regolare. Teorema delle funzioni implicite ed inverse. Derivate di funzioni implicite. Massimi e minimi vincolati, teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
• Complementi. Equazioni differenziali a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.