Obiettivi formativi
Il corso si propone di fornire agli studenti alcuni concetti
fondamentali del calcolo delle probabilita' che risulteranno utili
per il proseguimento del corso di laurea in questione.
Attività formative
Il corso viene svolto in 40 ore di lezione/esercitazione frontali,
in un periodo didattico.
Programma del corso
- 1. Spazi di Probabilita'. Introduzione al
Calcolo delle Probabilita'. Definizione assiomatica di spazio di
probabilita', secondo Kolmogorov. Spazi di probabilita' finiti e
uniformi. Elementi di calcolo combinatorio. Probabilita'
condizionata. Formula della probabilita' totale e formula di Bayes.
Indipendenza fra eventi. Schema di Bernoulli finito.
- 2. Variabili aleatorie discrete. Legge
discreta. Esempi: Indicatrice, Uniforme, Bernoulli, Binomiale,
Poisson, Ipergeometrica. Approssimazione di una v.a. Binomiale con
una v.a. di Poisson. Schema di Bernoulli infinito e v.a.
Geometrica. Vettori aleatori discreti: legge congiunta e marginali.
Esempio: v.a. multinomiale. Definizione di indipendenza di piu'
v.a.. Legge discreta condizionata. Media di una v.a. e sue
proprieta'. Varianza, deviazione standard e momenti di una v.a.
Covarianza e coefficiente di correlazione tra due v.a.. Proprieta'
di varianza e covarianza. Matrice delle covarianze di un vettore
aleatorio discreto.
- 3. Variabili aleatorie continue. V.a. a valori
non discreti: legge e funzione di ripartizione di una generica
v.a.. V.a. assolutamente continue: funzione di densita'. Esempi:
Uniforme, esponenziale, Gaussiana, Gamma, Beta. Media, varianza e
momenti di v.a. assolutamente continue. Vettori aleatori non
discreti e assolutamente continui: funzione di ripartizione e
funzione di densita' congiunte e marginali. Covarianza e
coefficiente di correlazione tra v.a. assolutamente continue e
matrice delle covarianze. Indipendenza di v.a. assolutamente
continue. Funzione di densita' condizionata. Attesa condizionata.
La v.a. gaussiana multivariata. Trasformazioni di v.a.
assolutamente continue: il metodo della funzione di ripartizione.
Somma di due v.a..
- 4. Convergenza e approssimazione. Vari tipi di
convergenza di successioni di v.a.: convergenza quasi certa, in
probabilita', in legge. Il Teorema Limite Centrale e applicazioni.
La disuguaglianza di Chebichev. La Legge dei Grandi Numeri e
applicazioni.