Obiettivi formativi

Attività formative

Programma del corso

• 1. Spazi di Probabilita'. Introduzione al Calcolo delle Probabilita'. Definizione assiomatica di spazio di probabilita', secondo Kolmogorov. Spazi di probabilita' finiti e uniformi. Elementi di calcolo combinatorio. Probabilita' condizionata. Formula della probabilita' totale e formula di Bayes. Indipendenza fra eventi. Schema di Bernoulli finito.
• 2. Variabili aleatorie discrete. Legge discreta. Esempi: Indicatrice, Uniforme, Bernoulli, Binomiale, Poisson, Ipergeometrica. Approssimazione di una v.a. Binomiale con una v.a. di Poisson. Schema di Bernoulli infinito e v.a. Geometrica. Vettori aleatori discreti: legge congiunta e marginali. Esempio: v.a. multinomiale. Definizione di indipendenza di piu' v.a.. Legge discreta condizionata. Media di una v.a. e sue proprieta'. Varianza, deviazione standard e momenti di una v.a. Covarianza e coefficiente di correlazione tra due v.a.. Proprieta' di varianza e covarianza. Matrice delle covarianze di un vettore aleatorio discreto.
• 3. Variabili aleatorie continue. V.a. a valori non discreti: legge e funzione di ripartizione di una generica v.a.. V.a. assolutamente continue: funzione di densita'. Esempi: Uniforme, Esponenziale, Gaussiana, Gamma, Beta. Media, varianza e momenti di v.a. assolutamente continue. Vettori aleatori non discreti e assolutamente continui: funzione di ripartizione e funzione di densita' congiunte e marginali. Covarianza e coefficiente di correlazione tra v.a. assolutamente continue e matrice delle covarianze. Indipendenza di v.a. assolutamente continue. Funzione di densita' condizionata. Attesa condizionata. V.a. Gaussiana multivariata. Trasformazioni di v.a. assolutamente continue: il metodo della funzione di ripartizione. Somma di due v.a.. Trasformazioni di vettori aleatori: il metodo dello Jacobiano. Generatori aleatori e simulazione di v.a.
• 4. Convergenza e approssimazione. Vari tipi di convergenza di successioni di v.a.: convergenza quasi certa, in probabilita', in legge. Il Teorema Limite Centrale e applicazioni. La disuguaglianza di Chebichev. La Legge dei Grandi Numeri e applicazioni.
• 5. Catene di Markov a stati finiti. Catena di Markov a stati finiti, omogenea. Matrice di transizione e sue proprieta'. Esempi notevoli: Random Walk, nascita e morte, rovina del giocatore, grafi. Classificazione degli stati. Stati accessibili e comunicanti. Catene irriducibili. Stati assorbenti. Ricorrenza e transienza. Misure invarianti. Misure reversibili. Teoremi di Markov per esistenza e unicita' di una misura invariante. Catena regolare. Catena ergodica. Teorema ergodico delle medie temporali. Algoritmo di Metropolis e applicazioni.