Analytical mechanics (2020/2021)

Codice insegnamento
4S001102
Docente
Nicola Sansonetto
Coordinatore
Nicola Sansonetto
crediti
6
Settore disciplinare
MAT/07 - FISICA MATEMATICA
Lingua di erogazione
Inglese
Sede
VERONA
Periodo
II semestre dal 1-mar-2021 al 11-giu-2021.

Orario lezioni

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Obiettivi formativi

Il corso è dedicato ad un approccio moderno e formale alla meccanica classica. Il principale obiettivo del corso consiste nell'introduzione di alcune tecniche di analisi globale e numerica, geometria differenziale e di sistemi dinamici al fine di formalizzare un modello di sistemi meccanici conservativi ad un numero finito di gradi di liberta`. Alla fine del corso uno studente dovrà essere in grado di costruire un modello di fenomeni fisici conservativi per sistemi ad un numero finito di gradi di liberta`, scrivere le equazioni del moto sia da un punto di vista Lagrangiano che Hamiltoniano e ricavare le principali proprieta` dinamiche del sistema.

Programma

• Introduzione. Il corso iniziera` con un rapido ripasso di alcune nozioni di base di Meccanica Newtoniana. La struttura geometrica dello spazio tempo di Galileo e assiomi della meccanica classica. Sistemi di particelle ed equazioni cardinali della dinamica. Campi di forze conservative. Massa in un campo centrale e il sistema dei due corpi.

• Meccanica Lagrangiana ed Hamiltoniana su Rn. Equivalenza tra equazioni di Euler-Lagrange ed equazioni di Newton nel caso meccanico. Principio di Hamilton e conservazione dell'energia generalizzata. Invarianza delle equazioni di Euler-Lagrange per cambiamenti di coordinate nello spazio delle configurazioni. Trasformazione di Legendre ed equazioni canoniche di Hamilton. Equivalenza tra equazioni canoniche, equazioni di Euler-Lagrange ed equazioni di Hamilton nel caso meccanico. Variabili cicliche e riduzione in ambito Hamiltoniano. Parentesi di Poisson e integrali primi.

• Richiami di geometria differenziale: campi vettoriali su varieta`, flusso di un campo, coniugazione di flussi. Derivata di Lie, integrali primi, foliazioni invarianti e riduzione dell'ordine.

• Meccanica Lagrangiana su varieta`. Sistemi vincolati: il principio di d'Alembert e le equazioni di Lagrange. Invarianza delle equazioni di Lagrange per cambiamenti di coordinate. Integrale di Jacobi. Stabilita` nei sistemi Lagrangiani e piccole oscillazioni. Coordinate cicliche, Teorema di Noether, integrali primi e riduzione di Routh.

• Corpi rigidi. Il gruppo delle rotazioni e sua rappresentazione matriciale. Velocita` angolare e algebra di Lie del gruppo delle rotazioni. Sistema di riferimento nello spazio e nel corpo. Equazioni di Euler.

• Applicazioni: il pendolo di Foucault, il sistema di Kepler, la stabilizzazione magnetica.

• Corpi rigidi. Il gruppo delle rotazioni e sua rappresentazione matriciale. Velocita` angolare e algebra di Lie del gruppo delle rotazioni. Sistema di riferimento nello spazio e nel corpo. Equazioni di Euler.

• Introduzione ai gruppi e alle algebre di Lie: azioni di gruppo, trivializzazione e teoria di Euler-Poicare` e relative applicazioni.

Testi di riferimento
Autore Titolo Casa editrice Anno ISBN Note
R. Abraham and J.E. Marsden Foundations of mechanics. Second Edition. (Edizione 2) Addison-Wesley 1987 080530102X Freely available at https://authors.library.caltech.edu/25029/
D.D. Holm, T. Schmah and C. Stoica Geometric Mechanics and Symmetry: From Finite to Infinite Dimensions (Edizione 1) Oxford University Press 2009
J.E. Marsden and T.S. Ratiu Introduction to Mechanics and Symmetry. A Basic Exposition of Classical Mechanical Systems (Edizione 2) Springer-Verlag 1999

Modalità d'esame

Per superare l'esame gli studenti devono dimostrare di:
- conoscere e aver compreso i concetti fondamentali della meccanica Newtoniana, Lagrangiana ed Hamiltoniana
- avere un'adeguata capacità di risolvere problemi, sia da un punto di
vista teorico che computazionale.
- saper argomentare i loro ragionamenti con rigore matematico.

L'esame e` composto da una prova scritta ed una prova orale. Il superamento
della prova scritta da` l'accesso alla prova orale.
L'esame scritto richiede la soluzione di problemi, mentre l'esame orale e'
basato su domande a risposta aperta e su una discussione dello scritto.
In caso di esito positivo, il voto della prova scritto sara' valido fino
all'ultimo appello disponibile nell'anno accademico in corso (Febbraio 2022).

L'esame sara` superato quando saranno superate con voto almeno pari a 18/30 (e lode)
e il voto complessivo sarà dato dalla media aritmetica del risultato in trentesimi di scritto e orale.