Sistemi stocastici (2020/2021)

Codice insegnamento
4S00254
Docenti
Paolo Dai Pra, Luca Di Persio
Coordinatore
Paolo Dai Pra
crediti
6
Settore disciplinare
MAT/06 - PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA
Lingua di erogazione
Italiano
Sede
VERONA
Periodo
I semestre dal 1-ott-2020 al 29-gen-2021.

Orario lezioni

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Obiettivi formativi

Il corso di Sistemi Stocastici si propone per obiettivo l'introduzione ai concetti di base della teoria soggiacente alla rigorosa descrizione matematica di dinamiche temporali di grandezze aleatorie. In particolare i prerequisiti del corso sono quelli di un corso standard di Probabilità per Matematica/Fisica. Si suppone che i discenti siano a conoscenza delle nozioni elementari del calcolo delle Probabilità, così come nell'assiomatica di Kolmogorov, con particolare riferimento alla conoscenza dei concetti di funzione di densità, ripartizione, probabilità condizionata, aspettazione condizionata, teoria della misura (di base),funzioni caratteristiche di variabili aleatorie, nozioni di convergenza (in misura, q.o., in Probabilità, etc.), teorema del limite centrale e sue (basilari) applicazioni, etc. Il corso di Sistemi Stocastici mira, in particolare, a fornire i concetti di base di: spazio di probabilità filtrato, martingala, tempo di arresto, teoremi di Doob, teoria delle catene di Markov a tempo discreto e continuo (classificazione degli stati, misure invarianti, limite, teorema ergodico, etc.), nozioni basilari sulla teoria delle code ed introduzione al moto Browniano. Una parte del corso è dedicata all'implementazione al calcolatore dei concetti operativi soggiacenti la trattazione dei sistemi stocastici del tipo catena di Markov, tanto a tempo discreto che continuo. Una parte del corso è dedicata all'introduzione ed allo studio operativo, per via di esercitazione al calcolatore, di serie temporali univariate. E' importante sottolineare come l'insegnamento di Sistemi Stocastici sia organizzato in modo tale che gli studenti possano concretamente completare ed ulteriormente sviluppare le proprie: capacità di analisi, sintesi ed astrazione; specifiche competenze computazionali ed informatiche; abilità di comprensione di testi, anche avanzati, di Matematica in generale e Matematica applicata in particolare; capacità di sviluppare modelli matematici per le scienze fisiche e naturali, essendo al contempo in grado di analizzarne i limiti e l'effettiva applicabilità, anche da un punto di vista computazionale; competenze atte allo sviluppo di opportuni modelli matematici e statistici per l’economia e per i mercati finanziari; capacità di estrarre informazioni qualitative da dati quantitativi; conoscenze di linguaggi di programmazione o software specifici.

Programma

Tutte le ore dell'insegnamento saranno disponibili online. Inoltre, una parte delle lezioni/tutte le lezioni (si veda l'orario)
saranno tenute anche in aula.

1. Catene di Markov a tempo discreto. Proprietà di Markov e probabilità di transizione. Irriducibilità, aperiodicità. Distribuzioni stazionarie. Distribuzioni reversibili.

2. Tempi di ingresso. Convergenza alla distribuzione stazionaria. Legge dei grandi numeri per catene di Markov. MCMC: algoritmo di Metropolis e Gibbs sampler.

3. Catene di Markov riducibili. Stati transitori e stati ricorrenti. Probabilità di assorbimento.

4.. Catene di Markov a stati numerabili. Ricorrenza e transitorietà della passeggiata aleatoria su Z^d. Stati ricorrenti positivi e distribuzioni stazionarie. Teorema di convergenza per catene di Markov irriducibili a stati numerabili.

5. Catene di Markov a tempo continuo. Il Processo di Poisson e sue proprietà. La proprietà di Markov a tempo continuo. Semigruppo associato ad una catena di Markov: continuità e derivabilità; generatore. Equazioni di Kolmogorov. Distribuzioni stazionarie. Formula di Dynkin. Costruzione probabilistica di una Catena di Markov a tempo continuo.

6. Grafi aleatori di Erdos-Renyi. Definizione del modello. Componenti connesse.

7. Valore atteso condizionale e distribuzione condizionale. Martingale. Teorema d'arresto e teorema di convergenza.

Testi di riferimento
Autore Titolo Casa editrice Anno ISBN Note
Levin, David A., and Yuval Peres Markov chains and mixing times American Mathematical Society 2017

Modalità d'esame

Prova scritta, con esercizi e domande teoriche.

La modalità d'esame potrebbe subire delle variazioni in funzione
dell'evolversi della situazione.