Il corso si propone di introdurre la teoria e alcune applicazioni dei sistemi dinamici continui e discreti, che descrivono l’evoluzione temporale di variabili quantitative. Al termine del corso lo studente sarà in grado di investigare la stabilità e la relativa natura di un equilibrio, l’analisi qualitativa di un sistema di equazioni differenziali ordinarie e il ritratto in fase di un sistema dinamico in dimensione 1 e 2. Lo studente sarà altresì in grado di investigare la presenza di cicli limite e la loro natura e di analizzare le applicazioni di base dei sistemi dinamici alla dinamica delle popolazioni, alla meccanica e ai modelli di traffico. Infine sarà in grado di produrre argomentazioni e dimostrazioni rigorose su questi temi e sarà in grado di leggere articoli e testi di sistemi dinamici e applicazioni.
Modulo 1. Complementi sulle equazioni differenziali ordinarie.
Ripasso su equazioni differenziali del primo ordine lineari, equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti, metodo della variazione delle costanti. Teorema di esistenza e unicita`. Teoria qualitativa delle Equazioni Differenziali Ordinarie: soluzioni massimali, lemmi di Gronwall e del confronto. Soluzione esplicita di equazioni particolari: a variabili separabili, di Riccati, totali. Sistemi lineari.
Modulo 2. ODE come campi vettoriali, analisi qualitativa dello spazio delle fasi.
Orbite e spazio delle fasi. Equilibri, ritratto in fase di dimensione 1, equazioni del secondo ordine e relativi equilibri. Linearizzazione attorno ad un equilibrio, soluzioni periodiche.
Modulo 3. Sistemi lineari.
Sistemi lineari in R2, matrice diagonalizzabile, autovalori reali e non reali. Il caso nilpotente. Diagramma di biforcazione in R2. Sistemi lineari in Rn, sottospazi stabile, instabile e centrale. Linearizzazione attorno ai punti di equilibrio.
Modulo4. Flusso e coniugazione di flussi.
Dipendenza dai dati iniziali, flusso di un campo vettoriale. Dipendenza dai parametri. Equazioni differenziali dipendenti dal tempo. Coniugazione di flussi e cambi di coordinate, push–forward e pull-back. Cambi di coordinate dipendenti dal tempo, riscalamenti di campi vettoriali e riparametrizzazioni del tempo. Teorema di rettificazione locale.
Modulo 5. Integrali primi.
Insiemi invarianti, integrali primi e la derivata di Lie. Foliazioni invarianti e abbassamento dell’ordine. Integrali primi e attrattivita` degli equilibri.
Modulo 6. Equazione di Newton 1-dimensionale.
Ritratto in fase nel caso conservativo. Linearizzazione. Abbassamento dell’ordine e legge oraria. Sistemi con dissipazione.
Modulo 7. Stabilita` degli equilibri. Stabilita` alla Lyapunov, il metodo delle funzioni di Lyapunov e il metodo spettrale.
Applicazioni e laboratorio numerico.
Modulo 8. Biforcazioni ed applicazioni.
Nozione di biforcazione in una dimensione, biforcazione degli equilibri. Applicazioni.
Modulo 9. Introduzione al calcolo delle variazioni 1-dimensionale.
Funzioni di Lagrange e funzionale d’azione. Differenziale di Gateaux e stazionarizzazione di un funzionale. Equazioni di Euler-Lagrange. Funzione di Jacobi e invarianza per trasformazioni puntuali estese. Problema geodetico e problema meccanico.
Modulo 10. Meccanica Hamiltoniana.
Funzione di Hamilton, equazioni canoniche, campi vettoriali Hamiltoniani e dinamica Hamiltoniana. Trasformazione di Legendre. Parentesi di Poisson, algebra di Poisson e integrali primi. Trasformazioni canoniche. Condizioni di canonicita`, condizione di Lie e funzioni generatrici. Equazione di Hamilton-Jacobi e cenni ai sistemi integrabili. Geometria dello spazio delle fasi: teorema del ritorno e teorema di Liouville.
| Autore | Titolo | Casa editrice | Anno | ISBN | Note |
| F. Fasso` | Dispense per il corso di Istituzioni di Fisica Matematica | CLEUP | 2021 | ||
| F. Fasso` | Primo sguardo ai sistemi dinamici | CLEUP | 2016 |
Una prova scritta di esercizi: ritratto di fase in 2D per un sistema dinamico non-lineare; calcolo di traiettorie e stabilità per un sistema in tempo discreto, ritratto di fase in 2D per un sistema dinamico non- lineare; calcolo di traiettorie e stabilità per un sistema in tempo discreto; studio della stabilità di un sistema.
La prova scritta verifica i seguenti obbiettivi formativi:
- aver adeguate capacità di analisi;
- avere adeguate competenze computazionali;
- essere in grado di formalizzare matematicamente problemi formulati nel linguaggio naturale;
- avere la capacità di costruire e sviluppare modelli matematici per le scienze fisiche e naturali
Una prova orale con 3 domande di teoria. La prova è obbligatoria
e va sostenuta all’interno della sessione in cui viene superata la prova scritta, pena la decadenza della
validita` della prova scritta.
La prova orale verifica i seguenti obbiettivi formativi:
- essere in grado di produrre e riconoscere dimostrazioni rigorose.
