Sistemi dinamici (2019/2020)



Codice insegnamento
4S00244
Crediti
9
Coordinatore
Nicola Sansonetto
Altri corsi di studio in cui è offerto
Altri corsi di studio in cui è offerto
    Settore disciplinare
    MAT/05 - ANALISI MATEMATICA
    Lingua di erogazione
    Italiano
    L'insegnamento è organizzato come segue:
    Attività Crediti Periodo Docenti Orario
    Parte I esercitazioni 1 II semestre Giacomo Canevari

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    Parte I teoria 5 II semestre Nicola Sansonetto

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    Parte II teoria 1 II semestre Nicola Sansonetto

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    Parte II Esercitazioni 2 II semestre Alberto Benvegnu'

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    Obiettivi formativi

    Il corso si propone di introdurre la teoria e alcune applicazioni dei sistemi dinamici continui e discreti, che descrivono l’evoluzione temporale di variabili quantitative.
    Al termine del corso lo studente sarà in grado di investigare la stabilità e la relativa natura di un equilibrio, l’analisi qualitativa di un sistema di equazioni differenziali ordinarie e il ritratto in fase di un sistema dinamico in dimensione 1 e 2.
    Lo studente sarà altresì in grado di investigare la presenza di cicli limite e la loro natura e di analizzare le applicazioni di base dei sistemi dinamici alla dinamica delle popolazioni, alla meccanica e ai modelli di traffico. Infine sarà in grado di produrre argomentazioni e dimostrazioni rigorose su questi temi e sarà in grado di leggere articoli e testi di sistemi dinamici e applicazioni.

    Programma

    Modulo 1. Complementi sulle equazioni differenziali ordinarie.
    Ripasso su equazioni differenziali del primo ordine lineari, equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti, metodo della variazione delle costanti. Teorema di esistenza e unicita`. Teoria qualitativa delle Equazioni Differenziali Ordinarie: soluzioni massimali, lemmi di Gronwall e del confronto. Soluzione esplicita di equazioni particolari: a variabili separabili, di Riccati, totali. Sistemi lineari.

    Modulo 2. ODE come campi vettoriali, analisi qualitativa dello spazio delle fasi.
    Orbite e spazio delle fasi. Equilibri, ritratto in fase di dimensione 1, equazioni del secondo ordine e relativi equilibri. Linearizzazione attorno ad un equilibrio, soluzioni periodiche.

    Modulo 3. Sistemi lineari.
    Sistemi lineari in R2, matrice diagonalizzabile, autovalori reali e non reali. Il caso nilpotente. Diagramma di biforcazione in R2. Sistemi lineari in Rn, sottospazi stabile, instabile e centrale. Linearizzazione attorno ai punti di equilibrio.

    Modulo4. Flusso e coniugazione di flussi.
    Dipendenza dai dati iniziali, flusso di un campo vettoriale. Dipendenza dai parametri. Equazioni differenziali dipendenti dal tempo. Coniugazione di flussi e cambi di coordinate, push–forward e pull-back. Cambi di coordinate dipendenti dal tempo, riscalamenti di campi vettoriali e riparametrizzazioni del tempo. Teorema di rettificazione locale.

    Modulo 5. Integrali primi.
    Insiemi invarianti, integrali primi e la derivata di Lie. Foliazioni invarianti e abbassamento dell’ordine. Integrali primi e attrattivita` degli equilibri.

    Modulo 6. Equazione di Newton 1-dimensionale.
    Ritratto in fase nel caso conservativo. Linearizzazione. Abbassamento dell’ordine e legge oraria. Sistemi con dissipazione.

    Modulo 7. Stabilita` degli equilibri. Stabilita` alla Lyapunov, il metodo delle funzioni di Lyapunov e il metodo spettrale.
    Applicazioni e laboratorio numerico.

    Modulo 8. Biforcazioni ed applicazioni.
    Nozione di biforcazione in una dimensione, biforcazione degli equilibri. Applicazioni.

    Modulo 9. Introduzione al calcolo delle variazioni 1-dimensionale.
    Funzioni di Lagrange e funzionale d’azione. Differenziale di Gateaux e stazionarizzazione di un funzionale. Equazioni di Euler-Lagrange. Funzione di Jacobi e invarianza per trasformazioni puntuali estese. Problema geodetico e problema meccanico.

    Modulo 10. Meccanica Hamiltoniana.
    Funzione di Hamilton, equazioni canoniche, campi vettoriali Hamiltoniani e dinamica Hamiltoniana. Trasformazione di Legendre. Parentesi di Poisson, algebra di Poisson e integrali primi. Trasformazioni canoniche. Condizioni di canonicita`, condizione di Lie e funzioni generatrici. Equazione di Hamilton-Jacobi e cenni ai sistemi integrabili. Geometria dello spazio delle fasi: teorema del ritorno e teorema di Liouville.

    Modalità d'esame

    Una prova scritta di esercizi: ritratto di fase in 2D per un sistema dinamico non-lineare; calcolo di traiettorie e stabilità per un sistema in tempo discreto, ritratto di fase in 2D per un sistema dinamico non- lineare; calcolo di traiettorie e stabilità per un sistema in tempo discreto; studio della stabilità di un sistema.
    La prova scritta verifica i seguenti obbiettivi formativi:
    - aver adeguate capacità di analisi;
    - avere adeguate competenze computazionali;
    - essere in grado di formalizzare matematicamente problemi formulati nel linguaggio naturale;
    - avere la capacità di costruire e sviluppare modelli matematici per le scienze fisiche e naturali

    Una prova orale con 2-3 domande di teoria. La prova è obbligatoria
    e va sostenuta all’interno della sessione in cui viene superata la prova scritta, pena la decadenza della
    validita` della prova scritta.
    La prova orale verifica i seguenti obbiettivi formativi:
    - essere in grado di produrre e riconoscere dimostrazioni rigorose.

    Testi di riferimento
    Attività Autore Titolo Casa editrice Anno ISBN Note
    Parte I teoria G. Benettin Appunti per il corso di Fisica Matematica 2017
    Parte I teoria G. Benettin Appunti per il corso di Meccanica Analitica 2018
    Parte I teoria F. Fasso` Primo sguardo ai sistemi dinamici CLEUP 2016
    Parte I teoria G. Benettin Una passeggiata tra i Sistemi Dinamici 2012
    Parte II teoria M.W. Hirsch e S. Smale Differential equations, dynamical systems, and linear algebra Academic Press 1974
    Parte II teoria S. Strogatz Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering Westview Press 2010
    Parte II teoria F. Fasso` Primo sguardo ai sistemi dinamici CLEUP 2016
    Parte II Esercitazioni M.W. Hirsch e S. Smale Differential equations, dynamical systems, and linear algebra Academic Press 1974
    Parte II Esercitazioni S. Strogatz Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering Westview Press 2010
    Parte II Esercitazioni F. Fasso` Primo sguardo ai sistemi dinamici CLEUP 2016