Algoritmi - COMPLESSITÀ (2011/2012)

Codice insegnamento
4S02709
Docente
Roberto Posenato
crediti
6
Settore disciplinare
ING-INF/05 - SISTEMI DI ELABORAZIONE DELLE INFORMAZIONI
Lingua di erogazione
Italiano
Sede
VERONA
Periodo
I semestre dal 3-ott-2011 al 31-gen-2012.
Pagina Web
https://elearning.univr.it/j/index.php?option=com_wrapper&Itemid=60&url=/sso/accedi_e.php?go=/e/course/view.php?id=811

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Orario lezioni

I semestre
Giorno Ora Tipo Luogo Note
lunedì 14.30 - 16.30 lezione Aula I  
martedì 14.30 - 16.30 lezione Aula I  
giovedì 9.30 - 10.30 lezione Aula I  

Obiettivi formativi

Il corso è costituito da un'introduzione alla complessità strutturale con particolare attenzione alla teoria del NP-completezza e da un'introduzione alla analisi di complessità dei problemi rispetto alla loro approssimabilità computazionale.

Scopo di tale introduzione è fornire agli studenti gli strumenti necessari per comprendere e affrontare la difficoltà nel risolvere alcuni problemi comuni da un punto di vista computazionale.

Programma

Introduzione
Concetto di modello di calcolo, risorsa computazionale, algoritmo efficiente e problema trattabile.

Modelli di calcolo
Macchina di Turing (MdT): definizione, funzionamento, concetto di configurazione, produzione e di computazione. Esempio di MdT. MdT e linguaggi: differenza tra accettare e decidere un linguaggio. Estensione della MdT: MdT a più nastri (k-MdT).

Complessità in tempo
La risorsa computazionale tempo. Classe di complessità TIME(). Teorema di relazione polinomiale tra le computazioni delle macchine k-MdT e MdT (idea della dimostrazione).
Introduzione al modello di calcolo "Macchina ad accesso casuale" (RAM = Random Access Machine): concetti di configurazione, programma e computazione. Macchina ad accesso casuale (RAM): tempo di computazione secondo il criterio di costo uniforme e costo logaritmico. Ipotesi necessarie per poter utilizzare il criterio del costo uniforme.
Esempio di programma RAM per calcolare il prodotto di due interi.
Teorema sul costo di simulazione di una MdT mediante un programma RAM (idea della dimostrazione).
Teorema sul costo di simulazione di un programma RAM mediante una MdT (solo enunciato).
Tesi del calcolo sequenziale e sue conseguenze.
Teorema dell'accelerazione lineare (linear speed-up) e sue conseguenze.
La classe di complessità P.
Esempio di problemi della classe P: PATH, MAX FLOW, con analisi dei possibili algoritmi di risoluzione per MAX FLOW, ACCOPPIAMENTO PERFETTO (PERFECT MATCHING).

Estensione della MdT: MdT non deterministica (NMdT).
La risorsa tempo nelle NMdT a k-nastri. Classe di complessità NTIME().
Esempio di algoritmo non deterministico computabile da una NMdT: algoritmo per SODDISFACIBILITÀ (SAT).
Relazione tra NMdT e MdT.
La classe di complessità NP.
Relazione tra NP e P. Esempio di problema in NP: problema del COMMESSO VIAGGIATORE (TSP).
Caratterizzazione alternativa della classe NP: verificatori polinomiali.
La classe di complessità EXP.

Complessità in spazio
Concetto di complessità spaziale. Macchina di Turing con input e output. Classi di complessità SPACE() e NSPACE().
Teorema di compressione (solo enunciato, dimostrazione per esercizio).
Classi di complessità L e NL.
Esempi di problemi: PALINDROME ∈ L e PATH ∈ NL.

Teoremi di relazione tra spazio e tempo di computazione per una MdT con I/O.
Relazioni tra classi di complessità
Concetto di funzione propria ed esempi di funzioni.
Il teorema del gap di Borodin (solo enunciato).

Il metodo di raggiungibilità. Teorema di inclusione tra classi in tempo e in spazio: NTIME(f(n)) ⊆ SPACE(f(n)), NSPACE(f(n)) ⊆ TIME(k(log n+f(n))).
Concetto di Macchina di Turing Universale.
L'insieme Hf.
Lemma 1 e 2 per il teorema di gerarchia temporale.
Teorema di gerarchia in tempo: versione lasca e versione stretta. Corollario P ⊂ EXP.
Teorema di gerarchia spaziale (solo enunciato). Corollario L ⊂ PSPACE.
Teorema di Savitch. Corollario SPACE(f(n))=SPACE(f(n)^2). Corollario PSPACE=NPSPACE.

Riduzioni e completezza
Concetto di riduzione e di riduzione logaritmica in spazio.
Esempio di riduzione: HAMILTON PATH ≤log SAT, PATH ≤log CIRCUIT VALUE, CIRCUIT SAT ≤log SAT.
Esempio di riduzione per generalizzazione.
Proprietà delle riduzioni: transitiva e riflessiva.
Concetto di completezza di un linguaggio.
Concetto di chiusura rispetto alla riduzione. Chiusura delle classi L, NL, P, NP, PSPACE e EXP.
Concetto di tabella di computazione.
Dimostrazione che CIRCUIT VALUE è P-completo.
Dimostrazione alternativa del teorema di Cook: CIRCUIT SAT è NP-completo.
Esempi di problemi NP-completo e loro riduzioni: SAT e sue varianti (3SAT, 3SAT con vincoli). Il caso 2SAT.
Concetto di gadget e dimostrazione della completezza del problema dell'INSIEME DI INDIPENDENZA (INDEPENDENT SET).
Problemi collegati: CRICCA (CLIQUE) e RICOPRIMENTO DI VERTICI (VERTEX COVER). Cenni sulla completezza dei problemi: MASSIMO TAGLIO, K-COLORABILITÀ, CIRCUITO HAMILTONIANO, COMMESSO VIAGGIATORE, ACCOPPIAMENTO TRIDIMENSIONALE, MIN SET COVER, SET PACKING.

Cenni sulla completezza della PROGRAMMAZIONE LINEARE INTERA, ZAINO e RIEMPIMENTO DEI CESTINI (BIN PACKING). Concetto di algoritmo pseudo polinomiale. Problemi fortemente NP-completi.

Computazioni e classi di complessità probabilistiche
Macchina di Turing Probabilistica.
Classi di complessità BPP, RP, coRP e ZPP. Relazione tra BPP e le altre classi.
Concetto di riduzione per le classi di complessità probabilistiche.

Algoritmi di approssimazione e classi di complessità approssimate.
Concetto di soluzione approssimata e di algoritmo approssimante. Esempi. Concetto di classificazione dei problemi in base alla loro approssimabilità computazionale. Principali classi di approssimazione computazionale: FPTAS, PTAS, APX, NPO. Esempi di problemi approssimabili e non approssimabili.

Testi di riferimento
Autore Titolo Casa editrice Anno ISBN Note
Christos H. Papadimitriou Computational complexity Addison Wesley 1994 0201530821
S. Arora, B. Barak Computational Complexity. A modern approach (Edizione 1) Cambridge University Press 2009 9780521424264 principale

Modalità d'esame

L'esame consiste in una prova scritta. Il voto di questo modulo vale 1/2 del voto finale.