Analisi matematica I - mod.1 (2008/2009)

Obiettivi formativi

Lo scopo di questo insegnamento è quello di presentare allo studente le nozioni fondamentali dell'analisi matematica per funzioni reali di una variabile reale,
con particolare attenzione agli aspetti concreti ed applicativi.
Il primo modulo è dedicato all'introduzione del sistema dei numeri reali, alle
nozioni di limite e di continuità ed alle basi del calcolo differenziale.

Richiami sugli insiemi numerici N, Z, Q. L'insieme R dei numeri reali: assioma di completezza. Massimo e minimo di un sottinsieme di R, maggioranti e minoranti. Concetto di estremo superiore. Funzioni reali di variabile reale: dominio, codominio,immagine, grafico in un piano cartesiano. Semplici manipolazioni di grafici. Funzioni elementari e loro grafici. Funzioni trigonometriche e loro inverse, funzione esponenziale e logaritmo.

Concetto intuitivo di limite: esame del comportamento della funzione sin(x)/x per angoli piccoli. Definizione e proprietà elementari dei limiti. Limiti infiniti e all'infinito. Forme indeterminate.

Successioni e loro limiti. Caratterizzazione dei limiti di funzione tramite le successioni. Esistenza dei limiti delle successioni monotone. Alcuni limiti fondamentali.

Funzioni continue. Teoremi fondamentali sulle funzioni continue: teorema di esistenza degli zeri, dei valori intermedi, di Weierstrass.

"Pendenza di una retta" ed idea euristica di pendenza istantanea del grafico di una funzione (velocità istantanea, tasso istantaneo di crescita): introduzione al concetto di derivata. Uso della derivata nello studio del grafico di una funzione e nella soluzione di semplici problemi applicativi.

Derivate delle funzioni elementari, continuità delle funzioni derivabili, regole di derivazione. Funzioni convesse: definizione di convessità per le funzioni derivabili e nel caso generale. Caratterizzazione della convessità tramite la derivata prima e la derivata seconda. Continuità delle funzioni convesse all'interno dell'intervallo su cui sono definite.

Prova scritta ed esame orale.