Obiettivi formativi
Nel corso vengono approfonditi i concetti del calcolo differenziale
ed integrale introdotti nel corso di Analisi Matematica 1, con
l'obiettivo di completare la preparazione di base nella materia, e
fornire inoltre alcuni prerequisiti specifici indispensabili per il
prosieguo del corso di studi.
Attività formative
Il corso prevede 40 ore di lezione frontale comprensive di
esercitazioni.
Programma del corso
- Prerequisiti. Si richiede la conoscenza del
programma dei corsi di Analisi Matematica 1 ed Algebra
Lineare.
- Successioni e serie di funzioni. Convergenza
puntuale ed uniforme. Continuità del limite uniforme di
successioni di funzioni continue. Passaggio al limite sotto il
segno di integrale in ipotesi di convergenza uniforme. Convergenza
uniforme delle derivate e derivabilità del limite uniforme.
Criterio di Weierstrass o della convergenza totale. Criterio di
Cauchy per la convergenza uniforme di una serie di funzioni.
Teoremi di convergenza delle serie di potenze. Raggio di
convergenza, sua caratterizzazione. Proprietà delle serie di
potenze nell'intervallo di convergenza: continuità, teorema
di Abel. Derivabilità e integrabilità termine a
termine. Funzioni analitiche, convergenza della serie di Taylor
associata. Analiticità delle funzioni elementari.
- Spazi metrici. Funzione distanza. Definizione
di spazio metrico. Palle. Distanza indotta da una norma su uno
spazio vettoriale. Esempi notevoli di norme su R^n e su
C^0([a,b]). Limiti di successioni in spazi metrici.
Funzioni continue tra spazi metrici, esempi in R^n e in
C^0([a,b]): funzione integrale, trasformata di Laplace,
trasformata di Fourier. Successioni di Cauchy, spazi metrici
completi. Completezza di R^n e di C^0([a,b]). Il
principio delle contrazioni in uno spazio metrico completo.
- Equazioni differenziali. Il problema di
Cauchy, problemi ben posti (esistenza, unicità, dipendenza
continua dai dati iniziali). Teorema di Cauchy-Lipschitz di
esistenza e unicità di soluzioni di problemi di Cauchy come
applicazione del principio delle contrazioni. Integrazione di
equazioni a variabili separabili. Integrazione dell' equazione di
Bernoulli. Metodo della conservazione dell'energia per integrare
y''=V'(y). Discussione qualitativa nello spazio delle
fasi; soluzioni stazionarie, relazione con i punti critici di $V$.
Equazioni differenziali lineari. Lo spazio vettoriale delle
soluzioni dell'equazione omogenea, determinazione di una base nel
caso a coefficienti costanti. Determinazione di una soluzione
particolare dell'equazione non omogenea: metodo degli
annichilatori, metodo della variazione dei parametri. Sistemi di
n equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti.
Particolari metodi di risoluzione: riducibilità ad
un'equazione di ordine n; diagonalizzabilità del
sistema omogeneo. Esponenziale di matrici. Discussione qualitativa
nel piano delle fasi, stabilità delle soluzioni di
equilibrio.
- Integrali multipli, curvilinei, superficiali.
Definizione di integrale di una funzione di più variabili
definita su di un rettangolo o su un dominio compatto a frontiera
regolare. Integrabilità delle funzioni continue,
integrazione iterata, formula di cambiamento di variabili. Volume
dei solidi di rotazione, teorema di Pappo. Definizione di integrale
curvilineo e di superficie e loro significato fisico. Lunghezza di
una curva, area di una superficie. Rotore e divergenza di un campo
vettoriale. Forme differenziali esatte e chiuse, lemma di
Poincaré. Teorema di Stokes per forme, e suoi corollari per
campi di vettori: teorema di Gauss-Green nel piano, teorema della
divergenza e teorema di Stokes classico.
- Complementi. Generalità sulle
trasformate di Laplace e di Fourier.