Stochastic differential equations (2018/2019)

Codice insegnamento
4S001444
Docente
Luca Di Persio
Coordinatore
Luca Di Persio
crediti
6
Settore disciplinare
MAT/06 - PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA
Lingua di erogazione
Inglese
Sede
VERONA
Periodo
II semestre dal 4-mar-2019 al 14-giu-2019.

Orario lezioni

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Obiettivi formativi

Questo corso fornirà un'introduzione alla teoria delle equazioni differenziali stocastiche (EDS), basata principalmente sul tipo di rumore del movimento Browniano. Lo scopo di questo corso è quello di introdurre e analizzare modelli di probabilità che catturano le caratteristiche stocastiche del sistema in studio per prevedere il breve e lungo termine effetti che questa casualità avrà sui sistemi presi in considerazione. Lo studio dei modelli di probabilità per processi stocastici a tempo continuo comprende una vasta gamma di strumenti matematici e computazionali. Il corso verrà sviluppato in equilibrio tra aspetti teorici ed applicazioni collegate, le quali saranno principalmente focalizzate si aspetti della finanza matematica, della biologia e della teoria delle popolazione, anche in relazione allo studio delle EDS associate. Gli argomenti includono: costruzione del moto Browniano; martingale in tempo continuo; integrale stocastico; calcolo di Ito e formula di Ito-Doeblin; equazioni differenziali stocastiche; Teorema di Girsanov; teorema di rappresentazione martingala; la formula di Feynman-Kac e i processi di Lévy.

Programma

Programma del corso

I) Prerequisiti: sigma-algebre, filtrazioni, aspettazione condizionata, proprietà martingala, variazione di una funzione, variazione quadratica.

II) Passeggiata casuale: passeggiata casuale, passeggiata casuale riscalata, proprietà martingala.

III) Moto Browniano: definizione di moto Browniano, funzione di un moto Browniano, proprietà martingala, martingale esponenziali, applicazioni in biologia,e finanza, esempi ed esercizi.

IIIa) Breve introduzione ai processi di salto: motivazioni, processi di Poisson, caso a tempo discreto, introduzione al modello di Galton Watson.


III) WIENER INTEGRAL: motivazione, funzioni a scalino, definizione di integrale di Wiener, proprietà, legge associata, martingale, variazione quadratica, applicazioni in biologia e finanza, esempi ed esercizi.

IV) INTEGRALI STOCASTICI: motivazione, funzioni a scalino, definizione di integrale stocastico, proprietà, martingala associata, variazione quadratica, varianza, processi di variazione finiti, processi di Itō, applicazioni in biologia e finanza, esempi ed esercizi.

V) ITO CALCULUS: motivazione, formula di Itō -Doeblin per il moto Browniano, formula di Itō-Doeblin per funzioni dipendenti dal tempo, formula di Itō-Doeblin per processi di Itō, applicazioni in biologia e finanza, esempi ed esercizi.

VI) SDEs: motivazioni, definizione, risultato di esistenza e unicità, applicazioni in biologia e finanza, esempi ed esercizi.

VII) CASO MULTI-DIMENSIONALE: moto Browniano multi-dimensionale, correlazione, formula di Itō-Doeblin multi-dimensionale, SDEs collegate, applicazioni in biologia e finanza, esempi ed esercitazioni.

VIII) CAMBIO DI PROBABILITÀ: motivazioni, teorema di Cameron-Martin, teorema di Girsanov, rappresentazione del teorema della martingala, applicazioni in biologia e finanza, esempi ed esercizi.

IX) FEYNMAN KAC FORMULA: motivazione, formula Feynman Kac, legame tra PDEs e SDEs, metodi Monte-Carlo.

X) PROCESSI DI SALTO: Processi di Lévy, caratterizzazione e proprietà.

Testi di riferimento
Autore Titolo Casa editrice Anno ISBN Note
I. Karatzas and S. Shreve Brownian motion and stochastic calculus  
D. Revuz and M. Yor Continuous martingales and Brownian motion  
M.Yor et al Exponential Functionals of Brownian Motion and related Processes Springer 2010
D. Williams Probability with martingales  
B. Øksendal Stochastic Differential Equations  
N. Ikeda and S. Watanabe Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes  
P. Protter Stochastic integration and differential equations  

Modalità d'esame

Esame orale con esercizi scritti:
l'esame è basato su domande a risposta aperta e sulla discussione di esercizi da svolgere per iscritto nel corso della prova. Le domande, aperte ed esercizi, mirano alla verifica delle conoscenze relative agli argomenti sviluppati nel programma del corso, nonché alla risoluzione di problemi concreti propri della teoria di base dei processi stocastici, e delle equazioni differenziali stocastiche.

Opinione studenti frequentanti - 2017/2018