Stochastic differential equations (2017/2018)

Codice insegnamento
4S001444
Docente
Luca Di Persio
Coordinatore
Luca Di Persio
crediti
6
Settore disciplinare
MAT/06 - PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA
Lingua di erogazione
Inglese
Periodo
II sem. dal 1-mar-2018 al 15-giu-2018.

Orario lezioni

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Obiettivi formativi

Questo corso fornirà un'introduzione alla teoria delle equazioni differenziali stocastiche (EDS), basata principalmente sul tipo di rumore del movimento Browniano
Lo scopo di questo corso è quello di introdurre e analizzare modelli di probabilità che catturano
le caratteristiche stocastiche del sistema in studio per prevedere il breve e lungo termine
effetti che questa casualità avrà sui sistemi presi in considerazione. Lo studio
dei modelli di probabilità per processi stocastici a tempo continuo comprende una vasta gamma di strumenti matematici e computazionali. Il corso verrà sviluppato in equilibrio tra aspetti teorici ed applicazioni collegate, le quali saranno principalmente focalizzate si aspetti della finanza matematica, della biologia e della teoria delle popolazione, anche in relazione allo studio delle EDS associate.
Gli argomenti includono: costruzione del moto Browniano; martingale in tempo continuo; integrale stocastico; calcolo di Ito e formula di Ito-Doeblin; equazioni differenziali stocastiche; Teorema di Girsanov; teorema di rappresentazione martingala; la formula di Feynman-Kac e i processi di Lévy.

Breve bibliografia


• Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance by D. Lamberton and B. Lapeyre
• Diffusions, Markov Processes and Martingales by L. Rogers and D. Williams, vol 2.
• Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes by N. Ikeda and S. Watanabe
• Stochastic differential equations, by B. Øksendal.
• Brownian motion and stochastic calculus, by I. Karatzas and S. Shreve.
• Continuous martingales and Brownian motion, by D. Revuz and M. Yor.
• Stochastic integration and differential equations, by P. Protter.
• Probability with martingales, by D. Williams.

Programma

Programma del corso

I) Prerequisiti: sigma-algebre, filtrazioni, aspettazione condizionata, proprietà martingala, variazione di una funzione, variazione quadratica.

II) Passeggiata casuale: passeggiata casuale, passeggiata casuale riscalata, proprietà martingala.

III) Moto Browniano: definizione di moto Browniano, funzione di un moto Browniano, proprietà martingala, martingale esponenziali, applicazioni in biologia,e finanza, esempi ed esercizi.

IIIa) Breve introduzione ai processi di salto: motivazioni, processi di Poisson, caso a tempo discreto, introduzione al modello di Galton Watson.


III) WIENER INTEGRAL: motivazione, funzioni a scalino, definizione di integrale di Wiener, proprietà, legge associata, martingale, variazione quadratica, applicazioni in biologia e finanza, esempi ed esercizi.

IV) INTEGRALI STOCASTICI: motivazione, funzioni a scalino, definizione di integrale stocastico, proprietà, martingala associata, variazione quadratica, varianza, processi di variazione finiti, processi di Itō, applicazioni in biologia e finanza, esempi ed esercizi.

V) ITO CALCULUS: motivazione, formula di Itō -Doeblin per il moto Browniano, formula di Itō-Doeblin per funzioni dipendenti dal tempo, formula di Itō-Doeblin per processi di Itō, applicazioni in biologia e finanza, esempi ed esercizi.

VI) SDEs: motivazioni, definizione, risultato di esistenza e unicità, applicazioni in biologia e finanza, esempi ed esercizi.

VII) CASO MULTI-DIMENSIONALE: moto Browniano multi-dimensionale, correlazione, formula di Itō-Doeblin multi-dimensionale, SDEs collegate, applicazioni in biologia e finanza, esempi ed esercitazioni.

VIII) CAMBIO DI PROBABILITÀ: motivazioni, teorema di Cameron-Martin, teorema di Girsanov, rappresentazione del teorema della martingala, applicazioni in biologia e finanza, esempi ed esercizi.

IX) FEYNMAN KAC FORMULA: motivazione, formula Feynman Kac, legame tra PDEs e SDEs, metodi Monte-Carlo.

X) PROCESSI DI SALTO: Processi di Lévy, caratterizzazione e proprietà.

Testi di riferimento
Autore Titolo Casa editrice Anno ISBN Note
I. Karatzas and S. Shreve Brownian motion and stochastic calculus  
D. Revuz and M. Yor Continuous martingales and Brownian motion  
L. Rogers and D. Williams Diffusions, Markov Processes and Martingales (Vol 2.)  
D. Lamberton and B. Lapeyre Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance  
D. Williams Probability with martingales  
S. E. Shreve Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models Springer, New York 2004
B. Øksendal Stochastic Differential Equations  
N. Ikeda and S. Watanabe Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes  
P. Protter Stochastic integration and differential equations  

Modalità d'esame

Esame scritto. E' prevista una prova intermedia ed un esame finale che verterà sull'intero corso

Opinione studenti frequentanti - 2017/2018