Differential geometry (2016/2017)

Codice insegnamento
4S003196
Docente
Giuseppe Mazzuoccolo
Coordinatore
Giuseppe Mazzuoccolo
crediti
6
Settore disciplinare
MAT/03 - GEOMETRIA
Lingua di erogazione
Inglese
Periodo
I sem. dal 3-ott-2016 al 31-gen-2017.

Orario lezioni

I sem.
Giorno Ora Tipo Luogo Note
lunedì 9.30 - 11.30 lezione Aula M  
martedì 10.30 - 12.30 lezione Aula M  

Obiettivi formativi

L'insegnamento si propone di fornire allo studente i concetti fondamentali della geometria differenziale delle varietà differenziabili.
Al termine dell'insegnamento lo studente conoscerà la terminologia e le definizioni utilizzate nello studio delle varietà differenziabili e delle varietà riemanniane, e alcuni dei risultati principali.
Sarà inoltre in grado di produrre argomentazioni e dimostrazioni rigorose su questi temi e sarà in grado di leggere articoli e testi di Geometria Differenziale.

Programma

Il corso consiste di lezioni frontali di cui verranno fornite le note.

-RICHIAMI DI TOPOLOGIA GENERALE
-SUPERFICI IMMERSE NELLO SPAZIO EUCLIDEO 3-DIMENSIONALE:
-atlante differenziabile, atlante orientato, piano tangente, versore normale.
-Prima forma quadratica fondamentale: metrica e area.
-Curvatura tangenziale e curvatura normale di una curva su una superficie
-Curvature, sezioni normali, Teorema di Meusnier.
-Curvature principali, curvatura Gaussiana e curvatura media: Superfici minime e Teorema Egregium
-Geodetiche

CALCOLO TENSORIALE
-Spazio vettoriale libero
-Prodotto tensoriale di due spazi vettoriali
-Prodotto tensoriale di n spazi vettoriali
-Algebre tensoriali
-Caso della dimensione finita
-Formule di trasformazione componenti di un tensore
-Prodotto tensoriale tra tensori misti
-Tensori Simmetrici
-Tensori Alternanti (Algebra esterna)
-Determinanti
-Aree e Volumi

VARIETA' DIFFERENZIABILI
-Definizione
-Esempi
-Classificazione delle 1-varietà
-Classificazione delle superfici semplicemente connesse
-Prodotti e spazi quozienti
-Mappe differenziabili
-Spazio tangente e fibrato tangente ad una varietà
-Campi di vettori su una varietà differenziabile
-Differenziale di una mappa
-Campi di tensori differenziabili
-Algebra esterna su una varietà differenziabile
-Varietà Riemanniane
-Tensore metrico
-Orientazione
-Elemento di Volume
-Derivata Esterna
-Coomologia di De Rham
-Omotopia
-Teoremi di punto fisso

CONNESSIONI AFFINI E TENSORI DI CURVATURA
-Connessioni
-Trasporto parallelo di Levi-Civita
-Geodetiche rispetto ad una connessione affine
-Connessione Riemanniana
-Curvatura di una connessione affine
-Tensore di curvatura
-Identità di Bianchi

Testi di riferimento
Autore Titolo Casa editrice Anno ISBN Note
Do Carmo Differential Geometry of Curves and Surfaces (Edizione 2) 2016
Do Carmo Riemannian Geometry 1992

Modalità d'esame

Per superare l'esame gli studenti devono dimostrare di:
- conoscere e aver compreso i concetti fondamentali della geometria differenziale
- avere un'adeguata capacità di analisi e sintesi e di astrazione
- saper argomentare i loro ragionamenti con rigore matematico.

L'esame consiste in una prova scritta in cui lo studente dovrà scegliere uno tra due temi, che prevedono una trattazione ampia di uno degli argomenti trattati a lezione (risposta di circa 2/3 pagine), e due tra tre domande brevi (risposta di circa 10 righe).

Opinione studenti frequentanti - 2015/2016


Statistiche per i requisiti di trasparenza (Attuazione Art. 2 del D.M. 31/10/2007, n. 544)

I dati relativi all'AA 2016/2017 non sono ancora disponibili